Résumé - Sur la contrôlabilité locale nulle d'un système de Burgers visqueux en temps fini

Sur la contrôlabilité locale nulle d'un système de Burgers visqueux en temps fini

2025-07-10 05:40:41

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Ce document investigate la contrôlabilité locale nulle d'un système de Burgers visqueux, qui est une équation aux dérivées partielles (EDP) régissant la dynamique des fluides et partage des similitudes avec le système de Navier-Stokes. Les chercheurs, Hoai-Minh Nguyen et Minh-Nguyen Tran, visent à démontrer que le système ne peut pas être contrôlable localement en un temps fini, ce qui signifie qu'il est impossible de contrôler le système à un état nul dans un temps fini en utilisant des contrôles internes qui dépendent uniquement du temps. Le système de Burgers considéré dans cette étude est défini sur un intervalle borné avec des conditions de bord de Dirichlet nulles. Les auteurs établissent que ce système n'est pas contrôlable localement en un temps court, ce qui a été montré précédemment par Marbach [25]. Cependant, dans ce document, Nguyen et Tran étendent ce résultat à un temps fini, en prouvant que le système reste incontrolable dans un cadre de temps fini. La méthode employée dans la preuve est inspirée des travaux sur la contrôlabilité du système de Korteweg-de Vries (KdV) et diffère de l'approche de Marbach. Les auteurs utilisent la méthode d'expansion en série de puissance, qui consiste à représenter le contrôle et la solution sous forme d'une série infinie de termes. Ils se concentrent sur le comportement du système linéarisé autour de la solution nulle et montrent qu'il n'est pas contrôlable localement pour certaines longueurs critiques. L'insight clé de la preuve consiste à démontrer que si le support de la fonction de contrôle u1 est contenu dans l'intervalle [0, T] et que la solution y1 atteint zéro à la temps T, alors il existe un constante positive CT telle que l'intégrale de la valeur au carré de la solution y2 à la temps T est supérieure ou égale à un certain seuil, indépendant de la fonction de contrôle u1. Cette inégalité implique que le système ne peut pas être contrôlé à zéro dans un temps fini. Pour établir cette inégalité, les auteurs procèdent à une analyse détaillée de la transformée de Fourier de la solution et de la fonction multiplicatrice Φk. Ils montrent que pour certaines longueurs critiques, la fonction multiplicatrice Φk présente un signe négatif, ce qui conduit à l'inégalité souhaitée. La preuve nécessite également plusieurs nouvelles estimations pour les solutions de l'équation de la chaleur, qui sont établies à l'aide de la décomposition spectrale et du théorème de Fubini. Ces estimations aident à compléter l'analyse et à prouver le résultat principal du document. En résumé, ce document contribue à la compréhension des propriétés de contrôlabilité du système de Burgers en démontrant qu'il n'est pas contrôlable localement en un temps fini. Les auteurs utilisent une combinaison de techniques analytiques et d'inspiration venue du système de KdV pour prouver ce résultat, fournissant des insights précieux sur le contrôle des EDP non linéaires.