Résumé - Sur les frontières de Shilov, les évaluations de Rees et les extensions intégrales

Sur les frontières de Shilov, les évaluations de Rees et les extensions intégrales

2025-07-09 17:50:19

{"Dimitri Dine"}

{math.AC,math.AG,math.NT,"14G22, 14G45, 13A15, 13A18, 13B21, 13B22, 13F05"}

Cet article explore une analogie entre deux domaines de la mathématique : l'algèbre commutative et la géométrie non-archimédienne. Plus précisément, il enquête sur la relation entre la clôture intégrale des idéaux et les valuation de Rees en algèbre commutative, et la semi-norme spectrale et la frontière de Shilov en géométrie non-archimédienne. L'article se concentre sur les anneaux de Tate, qui sont un type d'anneau qui apparaît à la fois en algèbre commutative et en géométrie non-archimédienne. Il prouve que la frontière de Shilov d'un anneau de Tate coïncide naturellement avec l'ensemble des anneaux de valuation de Rees du idéal principal généré par un pseudo-uniformisateur. L'article caractérise également la frontière de Shilov pour une large classe d'anneaux de Tate en utilisant les idéaux de pôles ouverts minimaux dans le sous-anneau des éléments à bornes de puissance. Ce résultat généralise une conclusion bien connue de Berkovich pour les algèbres affinoïdes. De plus, l'article prouve la stabilité de la caractérisation de la frontière de Shilov sous les extensions intégrales (complétées). Cela signifie que si un anneau de Tate satisfait la description de Berkovich de la frontière de Shilov, alors en font de même sa complétion et ses extensions intégrales. Quelques points clés de l'article incluent : * **Analogie entre l'algèbre commutative et la géométrie non-archimédienne** : L'article établit une connexion entre la clôture intégrale des idéaux et les valuation de Rees en algèbre commutative, et la semi-norme spectrale et la frontière de Shilov en géométrie non-archimédienne. * **Frontière de Shilov pour les anneaux de Tate** : L'article prouve que la frontière de Shilov d'un anneau de Tate coïncide naturellement avec l'ensemble des anneaux de valuation de Rees de l'idéal principal généré par un pseudo-uniformisateur. * **Caractérisation de la frontière de Shilov** : L'article caractérise la frontière de Shilov pour une large classe d'anneaux de Tate en utilisant les idéaux de pôles ouverts minimaux dans le sous-anneau des éléments à bornes de puissance. * **Stabilité sous les extensions intégrales** : L'article prouve la stabilité de la caractérisation de la frontière de Shilov sous les extensions intégrales (complétées). L'article offre une contribution précieuse à la compréhension de la relation entre l'algèbre commutative et la géométrie non-archimédienne, et fournit de nouvelles insights sur les propriétés des anneaux de Tate.