Résumé - Une théorie bivariante coopérative dérivée des opérations de cohomologie

Une théorie bivariante coopérative dérivée des opérations de cohomologie

2025-07-10 02:13:05

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{math.AT,math.AG}

Le papier présente une théorie bivariante coopérative, une version dual de la théorie bivariante opérationnelle de Fulton-MacPherson, dérivée des opérations de cohomologie. L'auteur, Shoji Yokura, définit une opération de cohomologie généralisée pour les applications continues avec des sections en utilisant des opérations de cohomologie. Cette opération est liée à l'opération de puissance de Steenrod de Quillen. Yokura commence par réviser la théorie bivariante de Fulton-MacPherson, qui unifie les functors covariants et contravariants dans une catégorie. Il introduit le concept de théorie bivariante, qui assigne un groupe abélien gradué à un morphisme dans une catégorie, et discute de la transformation naturelle entre deux théories bivariantes. L'auteur définit ensuite une théorie bivariante coopérative, BcoopF∗(Xf−→Y), pour un funtor covariant F∗ donné. Il construit cette théorie de manière analogique à la définition de la théorie bivariante opérationnelle de Fulton-MacPherson BopF∗(Xf−→Y). L'idée clé consiste à définir une opération de cohomologie généralisée pour les applications continues avec des sections en utilisant des opérations de cohomologie. Yokura montre que l'opération de cohomologie généralisée est liée à l'opération de puissance de Steenrod de Quillen et discute de ses applications. Il introduit également le concept de la carte de section, qui a une section continue, et définit une théorie bivariante coopérative dérivée des opérations de cohomologie pour de telles cartes. Le papier discute divers exemples d'opérations de cohomologie, y compris les opérations polynomiales sur les fibres vectoriels et le caractère de Chern. Il considère également la relation entre les théories bivariantes coopératives et les transformations naturelles entre les functors covariants. Yokura conclut en notant que la théorie bivariante coopérative originale possède plus de structures ou d'informations que les opérations de cohomologie généralisées, comme le montre l'inégalité stricte coopF∗(XidX−→X) ⫋ BcoopF∗(XidX−→X). En résumé, le papier présente une théorie bivariante coopérative dérivée des opérations de cohomologie, en discute les propriétés et les applications, et explore ses relations avec d'autres concepts mathématiques.