Résumé - Chemins positifs dans les groupes de difféomorphismes des variétés avec une distribution de contact

Chemins positifs dans les groupes de difféomorphismes des variétés avec une distribution de contact

2025-07-09 20:56:55

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Ce document investigate le concept de positivité dans le contexte des groupes de difféomorphismes des variétés munies d'une distribution de contact. L'auteur, Jakob Hedicke, explore comment la notion de positivité peut être appliquée aux chemins de difféomorphismes qui sont transversaux positifs à la distribution de contact. Le document commence par introduire les concepts de base des variétés de contact et des difféomorphismes. Il définit ensuite le concept de positivité pour les chemins de difféomorphismes et montre que cette notion n'est pas invariante sous conjugaison. Hedicke démontre que tous les groupes de difféomorphismes ne sont pas ordonnables, ce qui signifie que la relation induite par la positivité est triviale pour les difféomorphismes compactement supportés et qu'il existe des boucles positives C∞-petites de difféomorphismes. Les résultats principaux du document incluent : 1. Un théorème affirmant que pour la structure de contact standard sur R2n+1, tout deux difféomorphismes sont connectés par un chemin positif. Ce résultat généralise aux difféomorphismes compactement supportés sur une grande classe de variétés de contact. 2. Un théorème montrant qu'il est possible d'étendre un chemin donné de contactomorphismes qui est positif en dehors d'un sous-ensemble compact à un chemin positif partout avec les mêmes points d'extrémité. 3. Un théorème démontrant que tout chemin de difféomorphismes compactement supportés est homotopique dans Diffc(M) avec des extrémités fixes à une boucle nulle compactement supportée. Si M est fermé, tout chemin de difféomorphismes est homotopique avec des extrémités fixes à un chemin positif. De plus, il existe des boucles positives et nulles C∞-petites dans Diff0(M). 4. Un théorème affirmant que pour une variété de contact fermée, il existe une homotopie de boucles H : S1 × [0, 1] → Diff0(M) telle que H(t, 1) = id pour tous t ∈ S1 et que t 7→ H(t, s) est une boucle positive pour tous s ∈ [0, 1). Le document explore également les applications de ces résultats à l'étude des légendres dans l'espace de phase thermodynamique. En particulier, il répond à une question posée par Entov, Polterovich et Ryzhik concernant les légendres dans le contexte des processus thermodynamiques. Dans l'ensemble, ce document fournit une enquête exhaustive du concept de positivité dans les groupes de difféomorphismes des variétés munies d'une distribution de contact. Les résultats présentés ont des implications pour divers domaines de la mathématique, y compris la topologie de contact, la géométrie symplectique et la thermodynamique.