Résumé - Biquandles Virtuels et Nœuds Virtuels

Biquandles Virtuels et Nœuds Virtuels

2025-07-10 10:31:10

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{math.AT,"57M27, 57M25"}

Ce texte par Neslihan Gülgümcü et Hamdi Kayaslan présente des invariants des nœuds virtuels basés sur les biquandles et les brackets virtuels de biquandles. La théorie des nœuds virtuels, telle qu'introduite par L.H. Kauffman, étudie les nœuds et les liens dans des surfaces épaissies jusqu'aux homeomorphismes des surfaces épaissies plus la stabilisation/désstabilisation des poignées. Les nœuds virtuels sont des courbes ouvertes immergées dans des surfaces avec deux extrémités et sont une généralisation des nœuds classiques. La théorie des nœuds virtuels a été introduite par V. Turaev et a été étudieuse de manière approfondie. Le papier résume d'abord les bases des théories des nœuds virtuels classiques et virtuels, y compris la définition de diagramme de nœud virtuel, de nœud virtuel et de diagramme de nœud virtuel. Il introduit ensuite les biquandles, qui sont des structures algébriques avec deux opérations binaires satisfaisant trois axiomes motivés par les mouvements de Reidemeister des liens classiques. Les brackets de biquandles définis sur un anneau commutatif et unitaire ont été introduits par S. Nelson pour les nœuds et les liens colorés de X et ont été introduits en analogie avec le bracket de Kauffman. Le papier utilise ensuite les brackets virtuels de biquandles pour améliorer l'invariant de comptage de biquandles et la matrice de comptage de biquandles pour les nœuds virtuels. Il introduit de nouveaux invariants des nœuds virtuels en tant qu'amélioration des invariants basés sur les colorations de biquandles. Le papier fournit des exemples qui démontrent les capacités de classification de ces invariants à l'aide du tableau des nœuds virtuels de Bartholomew. Le papier introduit également le concept de brackets virtuels de biquandles pour les nœuds virtuels. Un bracket virtuel de biquandle est défini comme un ensemble de cartes et deux éléments qui satisfont certaines équations. Le papier définit l'invariant de bracket virtuel X d'un diagramme de nœud virtuel coloré X comme une somme sur les états du diagramme, où chaque état est obtenu en lisant les croisements de toutes les manières possibles. Le papier définit également le polynôme de bracket virtuel de biquandle et la matrice de bracket virtuel de biquandle pour les nœuds virtuels. Le papier montre que la matrice de bracket virtuel de biquandle est une amélioration appropriée de la matrice de comptage de biquandles et de l'invariant de comptage de biquandles pour les nœuds virtuels. Le papier fournit des exemples qui démontrent la force de ces invariants pour distinguer les nœuds virtuels. Le papier conclut en discutant de la calculabilité et de la force des brackets virtuels de biquandles en tant qu'invariants pour les nœuds virtuels. Il note que la calculabilité et la force de cet invariant peuvent être ajustées par les choix d'un biquandle X, d'un anneau de base R et d'une matrice de coefficient. Le papier note également que c'est une tâche difficile de déterminer les cartes de coefficient satisfaisant les axiomes donnés d'un bracket virtuel de biquandle, mais fournit certaines restrictions pour rendre cette tâche supportable.