Ce papier investigate la distance de Gromov-Hausdorff entre les paires métriques chromatisées et la stabilité du six-pack de diagrammes de persistence. Les paires métriques chromatisées consistent en un espace métrique et une fonction de coloration partitionnant un sous-ensemble de celui-ci en diverses couleurs. Le six-pack est une collection de six diagrammes de persistence résumant des informations homologiques sur la manière dont les sous-ensembles colorés interagissent.
Les auteurs introduisent une généralisation appropriée de la distance de Gromov-Hausdorff pour comparer les paires métriques chromatisées. Ils montrent quelques propriétés de base et valident cette définition en obtenant la stabilité du six-pack par rapport à cette distance. Ils discutent également de sa restriction aux paires métriques et de son rôle dans la stabilité des diagrammes de persistence de Cech.
Points clés :
* **Paires métriques chromatisées** : Un espace métrique et une fonction de coloration partitionnant un sous-ensemble de celui-ci en diverses couleurs.
* **Six-pack** : Une collection de six diagrammes de persistence résumant des informations homologiques sur la manière dont les sous-ensembles colorés interagissent.
* **Distance de Gromov-Hausdorff** : Une notion de dissimilarité introduite par Gromov pour étudier la convergence des structures métriques.
* **Stabilité** : La propriété que si deux ensembles de données sont similaires, alors leurs invariants associés devraient l'être également.
Les auteurs prouvent que le six-pack est stable par rapport à la distance de Gromov-Hausdorff entre les paires métriques chromatisées. Ce résultat est significatif car il permet la comparaison de jeux de données avec différentes colorations et différents espaces métriques sous-jacents.
Le papier traite également des sujets suivants :
* **Cartes C-constraintes** : Des cartes entre des paires métriques chromatisées satisfaisant certaines contraintes sur les couleurs des points.
* **Topologies d'Alexandrov** : Un type de topologie sur un ensemble de couleurs.
* **Distance de Gromov-Hausdorff C-construite** : Une généralisation de la distance de Gromov-Hausdorff pour les paires métriques chromatisées.
* **Homologie de persistence** : Un outil pour étudier la topologie des ensembles de données.
Les auteurs concluent en discutant des implications de leurs résultats pour l'étude des ensembles de points chromatisés et de l'homologie de persistence.