Résumé - Résidus de puissances primaires et ensembles bloquants

Résidus de puissances primaires et ensembles bloquants

2025-07-10 11:53:25

{"Bhawesh Mishra","Paolo Santonastaso"}

{math.NT,math.CO,"51E21, 05B25, 11A15"}

Cet article de Bhawesh Mishra et Paolo Santonastaso explore les propriétés des sous-ensembles finis d'entiers qui contiennent une puissance q modulo presque tous les nombres premiers. Plus spécifiquement, ils se concentrent sur les sous-ensembles qui ne contiennent aucune puissance q entière mais qui contiennent néanmoins une puissance q modulo presque tous les nombres premiers, qu'ils appellent des ensembles localement de puissances q. Les auteurs établissent une relation entre ces ensembles localement de puissances q et les ensembles bloquants dans l'espace de projéction PG(Fkq), où k est le nombre de diviseurs premiers distincts des parties q-injectibles des éléments de l'ensemble. Ils montrent qu'un ensemble localement de puissance q contient une puissance q modulo presque tous les nombres premiers si et seulement s'il correspond à un ensemble bloquant dans PG(Fkq). Cette caractérisation géométrique permet aux auteurs d'introduire le concept d'équivalence q-géométrique, qui est une relation d'équivalence entre les ensembles localement de puissances q. Ils utilisent cela pour étudier les propriétés des ensembles localement de puissances q, telles que leurs dimensions et les bornes sur leurs cardinalités. Les principaux résultats de l'article sont les suivants : 1. Un ensemble localement de puissance q correspond à un ensemble bloquant dans PG(Fkq), et vice versa. 2. La propriété d'être un ensemble localement de puissance q est invariante sous l'équivalence q-géométrique définie par un élément du groupe projectif général linéaire PGL(Fkq). 3. Les auteurs classifient et fournissent des bornes sur les tailles des ensembles localement de puissances q minimaux. L'article aborde également les sujets suivants : - Réduction à la classe d'équivalence q-libre positive : Les auteurs montrent que suffisamment pour étudier si un ensemble contient une puissance q modulo presque tous les nombres premiers s'il contient une puissance q modulo presque tous les nombres premiers dans sa classe d'équivalence q-libre positive. - Ensembles bloquants : Les auteurs définissent et étudient les ensembles bloquants dans l'espace de projéction, qui sont des collections de points qui rencontrent chaque hyperplane au moins à un point. - Équivalence q-géométrique : Les auteurs introduisent le concept d'équivalence q-géométrique, qui est une relation d'équivalence entre les ensembles localement de puissances q. - Classification et bornes des ensembles localement de puissances q : Les auteurs classifient les ensembles localement de puissances q minimaux selon leur cardinalité et la forme de leurs éléments, et fournissent des bornes sur leurs tailles. - Ensembles localement de puissances q de deux dimensions : Les auteurs classifient les ensembles localement de puissances q minimaux de deux dimensions pour q ∈ {3, 5, 7}. - Ensembles localement de puissances q de trois dimensions : Les auteurs fournissent des insights sur les ensembles localement de puissances q de trois dimensions pour q = 3, 5. Dans l'ensemble, cet article propose une étude complète des ensembles localement de puissances q, reliant la théorie des nombres et la géométrie finie. Les auteurs établissent une caractérisation géométrique de ces ensembles et l'utilisent pour étudier leurs propriétés et les classer.