Résumé - Observable des arbres de couverture aléatoires dans un environnement aléatoire

Observable des arbres de couverture aléatoires dans un environnement aléatoire

2025-07-10 12:30:44

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{math.PR,math.CO,"Primary: 60K35, Secondary: 82B41, 82B44, 05C05"}

Cette thèse de Luca Makowiec explore un système désordonné novateur appelé arbres couvrants aléatoires dans un environnement aléatoire (RSTRE) sur diverses familles de graphes avec des distributions de désordre différentes. La recherche se concentre sur plusieurs observables en fonction de la force du désordre (température inverse) β ≥ 0 et compare leurs valeurs aux cas extrêmes β = 0 et β →∞, qui correspondent respectivement à l'arbre couvrant uniforme (UST) et à l'arbre couvrant minimal (MST). Les aspects clés de la recherche incluent : - Introduction aux informations de fond pertinentes sur les UST, les walks aléatoires et les réseaux électriques. - Existence d'une mesure RSTRE limitée sur la grille euclidienne Zd en considérant le RSTRE sur des graphes finis dans une épuisement de Zd. - Analyse du nombre de composantes connexes et de la densité de superposition de deux arbres échantillonnés sous le même environnement. - Focus sur les observables locaux du RSTRE sur le graphe complet à n sommets avec des variables de désordre uniformément distribuées sur [0, 1]. La recherche montre : - Lorsque β = o(n/ log n), la longueur (Hamiltonien) est (1 + o(1))β/n et l'overlap des arêtes est (1 + o(1))β. - Pour β beaucoup plus grand que n log2 n, l'overlap des arêtes est (1 - o(1))n et la longueur est approximativement celle de l'arbre couvrant minimal. - Il y a une transition brusque du limit local lorsque β = nγ et γ traverse le seuil critique γc = 1. Pour γ < γc, le RSTRE localement converge au même limit que l'UST. Pour γ > γc, le limit local est le même que l'arbre couvrant minimal. - Consideration de l'observable global du diamètre. Pour des expandeurs à degré borné ou des boîtes dans Zd (d ≥ 5) sur n sommets, le diamètre du RSTRE est de l'ordre de √n (jusqu'à des termes logarithmiques), le même que le diamètre de l'UST. Pour le graphe complet avec des variables de désordre uniformément distribuées sur [0, 1], le diamètre du RSTRE est de l'ordre de √n pour β = O(n/ log n) et n1/3 pour β ≥ n4/3 log n, le même que le diamètre de l'arbre couvrant minimal. La recherche fournit de nouvelles perspectives sur le comportement des RSTRE sur diverses familles de graphes et régimes de désordre, offrant un pont entre l'UST et l'arbre couvrant minimal.