Résumé - Classer les anneaux d'entiers de Grothendieck jusqu'au rang 5 et au-delà

Classer les anneaux d'entiers de Grothendieck jusqu'au rang 5 et au-delà

2025-07-09 16:53:14

{"Max A. Alekseyev","Winfried Bruns","Jingcheng Dong","Sebastien Palcoux"}

{math.QA,math.CT,math.GR,math.RA,math.RT,"18M20 (Primary) 05E10, 11D68, 16T20, 16Z05, 20C15, 20G42 (Secondary)"}

Ce document fournit une classification complète des anneaux de Grothendieck intégraux jusqu'au rang 5 et au-delà, sous diverses hypothèses. Voici une analyse des points principaux : **Cas général (§6 et annexe A)** : * La classification des catégories de fusion intégrales jusqu'au rang 5 est complète, conduisant à 29 anneaux de Drinfeld intégraux et à 58 anneaux de Drinfeld 1-Frobenius de rang 6. * La seule catégorie de fusion intégrale 1-Frobenius simple non orientée de rang au plus 6 est équivalente à Rep(A5). * Le plus petit rang pour une catégorie de fusion intégrale non Isaacs est 6, comme le montre la catégorie de fusion théorique C(A5, 1, S3, 1). **Cas non commutatif (§8 et annexe C)** : * Le seul anneau de Drinfeld intégral non commutatif jusqu'au rang 6 est le groupe d'anneau ZS3. * La classification des anneaux de Grothendieck intégraux non commutatifs jusqu'au rang 7 est complète, avec le groupe d'anneau ZS3 comme unique exemple de rang 6 et trois exemples de rang 7. * La classification de tous les 29 anneaux de Drinfeld intégraux non commutatifs de rang au plus 8 est complète, avec un seul de rang 6, trois de rang 7 et 25 de rang 8. **Cas des dimensions impaires (§7 et annexe B)** : * L'anneau de Grothendieck de toute catégorie de fusion intégrale de dimension impaire est un anneau de Drinfeld MNSD. * La classification des anneaux de Drinfeld MNSD jusqu'au rang 7 est complète, avec huit anneaux de Drinfeld, tous classifiables sauf un. * La première catégorie de fusion intégrale de dimension impaire non Grothendieck équivalente à une catégorie Tannakienne apparaît au rang 27. * La classification des anneaux de Drinfeld 1-Frobenius MNSD de rang 9 et 11 est complète, avec 10 et 24 exemples respectivement. **Anneaux de Drinfeld exotiques** : * Le document identifie plusieurs anneaux de Drinfeld intégraux simples exotiques, qui ne sont pas les anneaux de Grothendieck de aucune catégorie de fusion théoriquement groupe. * Ces anneaux de Drinfeld exotiques sont des candidats potentiels pour counterexamples à la version étendue du conjecture de Kaplansky sixième pour les catégories de fusion et ne permettent pas de categorification tressée. * Le document présente des exemples d'anneaux de Drinfeld exotiques de rangs 4, 6 et 7, avec FPdim ≤ 200000, 200000 et 2000 respectivement. **Conclusion** : Ce document représente une avancée significative dans la classification des anneaux de Grothendieck intégraux, offrant une compréhension plus profonde de la structure et des propriétés de ces objets. Les résultats présentés ici contribueront à la recherche future sur les catégories de fusion et leur categorification.