Résumé - Décomposition en domaine temporel basée sur la dissipativité pour le contrôle optimal des EDP hyperboliques

Décomposition en domaine temporel basée sur la dissipativité pour le contrôle optimal des EDP hyperboliques

2025-07-10 14:43:28

{"Bálint Farkas","Birgit Jacob","Manuel Schaller","Merlin Schmitz"}

{math.OC,math.FA,"46N10, 49M27, 49N10, 65M55, 65Y05"}

Ce manuscrit de recherche présente une nouvelle approche de décomposition en domaine temporel pour la commande optimale des équations aux dérivées partielles hyperboliques (PDEs), en se concentrant spécifiquement sur des équations telles que les équations de barre ou les équations d'onde. La méthode, basée sur les méthodes de théorie des semi-groupes, répond au défi de la haute dimensionnalité souvent rencontrée dans les PDEs dépendantes du temps. Les auteurs proposent une méthode de décomposition en domaine temporel du type Peaceman-Rachford, qui consiste à partitionner le système d'optimalité en sous-problèmes. Ce système comprend deux équations aux dérivées partielles avant-arrière couplées, représentant les équations d'état et adjointes. L'idée clé consiste à exprimer ce système comme une somme d'opérateurs dissipatifs, ce qui permet un schéma d'itération de point fixe. Les étapes d'itération peuvent être vues comme des solutions de nombreux problèmes d'optimisation temporellement distribués et donc fortement parallélisables. Le manuscrit prouve la convergence de l'état, du contrôle et de l'état adjoint correspondant dans l'espace fonctionnel. Les résultats sont particulièrement applicables aux équations hyperboliques en raison du cadre général des C0-(semi)groupes. La méthode proposée est illustrée à l'aide de deux exemples numériques, une équation d'onde 2D et une équation de chaleur 3D, démontrant son efficacité et sa convergence. Les aspects clés de la méthode incluent : 1. **Décomposition en domaine temporel** : L'intervalle temporel est divisé en sous-intervalle non couverts, permettant la parallélisation des sous-problèmes résultants. 2. **Opérateurs dissipatifs** : Le système d'optimalité est exprimé comme une somme d'opérateurs dissipatifs, ce qui permet une analyse de convergence dans un cadre fonctionnel analytique général. 3. **Itération Peaceman-Rachford** : Le schéma d'itération de point fixe est utilisé pour résoudre les sous-problèmes, assurant la convergence de l'état, du contrôle et de l'état adjoint. 4. **Exemples numériques** : La méthode est démontrée à l'aide d'équations aux dérivées partielles 2D et 3D, montrant son efficacité et son applicabilité à divers problèmes. En résumé, ce manuscrit présente une méthode nouvelle et efficace pour la commande optimale des PDEs hyperboliques, basée sur la décomposition en domaine temporel et les opérateurs dissipatifs. La méthode proposée est bien adaptée à la parallélisation et offre une approche prometteuse pour résoudre des problèmes d'optimisation complexe impliquant des PDEs à haute dimensionnalité.