Résumé - Hiérarchie de Whitham de genre zéro via les variétés de Hurwitz--Frobenius

Hiérarchie de Whitham de genre zéro via les variétés de Hurwitz--Frobenius

2025-07-10 10:34:41

{"Alexey Basalaev"}

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Ce texte par Alexey Basalaev explore la connexion entre les variétés de Hurwitz-Frobenius de genre zéro et les hiérarchies intégrables. L'étude se concentre sur l'exemple spécifique de ces variétés et sur la manière dont elles peuvent être utilisées pour dériver des systèmes infinis d'équations aux dérivées partielles commutant (EDP). Les variétés de Hurwitz-Frobenius sont des variétés complexes équipées d'un produit, d'un pairing plat et d'un champ de vecteurs unitaire plat. Ces variétés sont construites sur les espaces des couvertures ramifiées d'une sphère par une surface de Riemann de genre g avec un profil de ramification prescrit. Dans ce texte, l'attention est portée sur les variétés de Hurwitz-Frobenius de genre zéro, qui sont liées à l'espace des couvertures ramifiées de la sphère par une surface de Riemann de genre zéro. Le résultat clé du texte est que les potentiels de Frobenius des variétés de Hurwitz-Frobenius de genre zéro se stabilisent et définissent donc un système infini d'EDP commutant. Ce système d'EDP est équivalent à l'hiérarchie de Whitham de genre zéro d'I. Krichever. L'hiérarchie de Whitham est une famille d'équations dispersives associée à l'espace des couvertures ramifiées et a des applications dans divers domaines, y compris la théorie des cordes et la théorie des champs topologiques. Le texte montre également que le système d'EDP défini par les variétés de Hurwitz-Frobenius de genre zéro a à la fois la forme de Fay et la forme Lax sans coordonnées. La forme de Fay est une manière d'écrire les EDP sous forme de système d'équations impliquant une fonction génératrice, tandis que la forme Lax est une manière d'écrire les EDP sous forme de système d'équations impliquant un couple Lax. La connexion entre ces deux formes est un résultat important du texte. Enfin, le texte montre comment étendre le système d'EDP au système de hiérarchie KP multicomposante via la déformation h̄ des opérateurs différentiels. La déformation h̄ est une manière de modifier les opérateurs différentiels pour introduire la dispersion et est utilisée pour obtenir l'hiérarchie KP dispersif. En résumé, ce texte fournit une étude détaillée de la connexion entre les variétés de Hurwitz-Frobenius de genre zéro et les hiérarchies intégrables. Les résultats de ce texte ont des applications dans divers domaines des mathématiques et de la physique, y compris la théorie des cordes, la théorie des champs topologiques et la physique mathématique.