Résumé - Sur l'absence de colimits dans diverses catégories d'algèbres de Boole et Heyting

Sur l'absence de colimits dans diverses catégories d'algèbres de Boole et Heyting

2025-07-10 07:21:59

{"Marco Abbadini","Guram Bezhanishvili","Luca Carai"}

{math.LO,math.CT,"18C05, 08C05, 18F70, 06E25, 06D20, 06D22, 18F60"}

L'article de Marco Abbadini, Guram Bezhanishvili et Luca Carai investigate le manque de colimites dans diverses catégories d'algèbres booléennes avec opérateurs (BAO) et algèbres de Heyting. L'étude se concentre sur les catégories d'algèbres booléennes complètes avec morphismes stables, algèbres de Heyting avec morphismes de treillis borné, cadres, et algèbres de McKinsey-Tarski. Les auteurs commencent par discuter du fait bien connu que tant les algèbres booléennes que les algèbres de Heyting forment une variété, ce qui permet l'utilisation de puissants outils de l'algèbre universelle dans leur étude. Cependant, lorsqu'on se restreint aux catégories d'algèbres booléennes et d'algèbres de Heyting complètes, il est montré que ces catégories ne sont pas des variétés en raison de l'inexistence d'algèbres booléennes et d'algèbres de Heyting complètes libres. Les auteurs généralisent ensuite ce résultat à diverses catégories d'BAO et d'algèbres de Heyting, montrant que aucune de ces catégories n'est équivalente à une prévariété, à plus forte raison une variété. En particulier, ils prouvent que la catégorie des algèbres de McKinsey-Tarski n'est pas équivalente à une variété, répondant ainsi négativement à une question de Peter Jipsen. L'outil principal utilisé dans la preuve est la théorie de la dualité, qui inclut la dualité de Stone pour les algèbres booléennes, la dualité de Jośnsson-Tarski pour les BAO, et les dualités d'Esakia et Priestley pour les algèbres de Heyting et les treillis bornés distributifs. En dualisant le fait que les prévariétés sont cocomplètes, les auteurs montrent que les catégories duales en question ne sont pas complètes. En particulier, les résultats suivants sont obtenus : 1. Diverses catégories d'algèbres booléennes complètes avec morphismes stables manquent de certains coproduits countables. 2. La catégorie des algèbres de Heyting avec morphismes de treillis borné manque de certains coéquipements. 3. La catégorie des cadres avec morphismes de Heyting manque de certains coproduits binaires. 4. La catégorie des cadres avec morphismes de treillis borné manque de certains coproduits binaires. Ces résultats contribuent à une meilleure compréhension de la structure et des propriétés des BAO et des algèbres de Heyting, ainsi qu'à leurs applications en logique modale et en topologie.