Résumé - Inégalité de Fenchel-Willmore pour les sous-variétés dans des variétés avec une courbure de Ricci $k$-non-négative

Inégalité de Fenchel-Willmore pour les sous-variétés dans des variétés avec une courbure de Ricci $k$-non-négative

2025-07-10 11:30:22

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{math.DG,"53E10, 53A07, 53C42"}

Ce papier présente une avancée significative dans les inégalités géométriques pour les sous-variétés immergées dans des variétés riemanniennes à courbure non négative. Plus spécifiquement, Meng Ji et Kwok-Kun Kwong établissent une inégalité Fenchel-Willmore tranchante pour les sous-variétés fermées de dimension et de codimension arbitraires immergées dans une variété riemannienne complète avec une courbure Ricci intermédiaire non négative et une croissance de volume euclidienne. Les auteurs caractérisent également le cas d'égalité de cette inégalité, qui généralise des travaux précédents par Agostiniani, Fogagnolo et Mazzieri, ainsi que des résultats classiques par Chen, Fenchel, Willmore et d'autres. L'inégalité Fenchel-Willmore est une inégalité géométrique fondamentale qui relie le volume et la courbure moyenne d'une sous-variété. Dans ce papier, les auteurs prouvent que pour une sous-variété fermée de dimension n immergée dans une variété M avec une courbure Ricci intermédiaire non négative et un rapport de volume asymptotique θ > 0, l'inégalité suivante est vérifiée : ∫Σ|σ|n ≥ θ|Sn| où σ est le vecteur de courbure moyenne normalisée de Σ, et |Sn| est le volume de la sphère unité dans la variété environnante M. Les auteurs fournissent également une analyse détaillée du cas d'égalité de cette inégalité, qui se produit lorsque la sous-variété Σ est une sous-variété fermée, umbilicale avec une courbure moyenne constante et que la variété environnante M a une courbure Ricci non négative. Dans ce cas, l'inégalité devient une égalité, et les auteurs caractérisent la sous-variété Σ et la variété environnante M en termes de leurs propriétés géométriques. La preuve de l'inégalité Fenchel-Willmore repose sur plusieurs idées clés : 1. L'utilisation d'une "carte de transport" à partir du fibré normal de la sous-variété vers la variété environnante, ce qui permet aux auteurs de lier la géométrie de la sous-variété à la géométrie de la variété environnante. 2. L'application d'un théorème de comparaison jacobienne de type Heintze-Karcher, qui permet aux auteurs d'estimer le déterminant jacobien de la carte de transport et de contrôler les intégrales correspondantes. 3. L'utilisation d'une formule de représentation liée à l'intégrale d'Euler du premier genre, qui permet aux auteurs d'obtenir des expressions précises pour les intégrales fibres pertinentes et de préserver le constant tranchant pour toutes les codimensions m et θ > 0. Les auteurs discutent également de l'extension de leurs résultats au cas de la courbure k-Ricci non négative, qui fournit une hypothèse de courbure plus faible que la courbure Ricci non négative. Cette extension est possible en utilisant une analyse plus raffinée du déterminant jacobien via l'inégalité de Riccati, qui renforce le théorème de comparaison jacobienne classique de Heintze et Karcher. Dans l'ensemble, ce papier constitue une contribution significative à l'étude des inégalités géométriques pour les sous-variétés et montre le pouvoir d'utiliser des techniques géométriques et analytiques avancées pour résoudre des problèmes en géométrie différentielle.