Résumé - Cogéométrie et Extensions des Functors $C_p$-verts de type de Lie

Cogéométrie et Extensions des Functors $C_p$-verts de type de Lie

2025-07-10 17:41:56

{"Tarik Anowar","Satyendra Kumar Mishra","Ripan Saha"}

{math.RA}

L'article de recherche de Tarik Anowar, Satyendra Kumar Mishra et Ripan Saha explore le développement d'une théorie des foncteurs Cp-Green de type Lie, qui unifie le cadre axiomatique des foncteurs Green avec la structure des algèbres de Lie sous l'action d'un groupe cyclique Cp de cardinalité premier. Ce travail étend des notions classiques de théorie de la représentation et de topologie, en introduisant des concepts tels que les produits tensoriels et extérieurs, une cohomologie de Chevalley–Eilenberg équivalente, et les produits coupants qui donnent à la cohomologie une structure de foncteur Green gradué de type Lie. Le résultat clé établit une correspondance entre les classes d'équivalence des extensions singulières et les deuxième groupes de cohomologie, généralisant la théorie classique des extensions d'algèbres de Lie à la situation équivalente. Ce cadre enrichit l'outillage pour étudier les structures algébriques équivalentes et ouvre la voie à des applications ultérieures en théorie de la déformation, en algèbre homotopique et en théorie de la représentation. Voici une analyse détaillée du contenu de l'article : - **Introduction** : L'article présente le concept de foncteurs de Mackey, de foncteurs Green et de leurs catégories de modules. Il discute ensuite de la nécessité d'étendre ces idées au cadre des algèbres de Lie, en particulier sous l'action d'un groupe cyclique Cp. - **Préliminaires** : Cette section rappelle les définitions et résultats de base, y compris les foncteurs de Mackey, les foncteurs Green, et leurs catégories de modules, ainsi que le concept de pairing. - **Foncteurs Cp-Green de type Lie** : Cette section définit les foncteurs Cp-Green de type Lie, qui sont des foncteurs de Mackey qui portent des structures d'algèbre de Lie au sous-groupe trivial e et au groupe Cp eux-mêmes. Elle introduit également les morphismes dans cette catégorie et fournit des exemples de tels foncteurs. - **Produits tensoriels et extérieurs** : Cette section définit les produits tensoriels et extérieurs des foncteurs Cp-Green de type Lie, en s'assurant que ces opérations respectent les axiomes des foncteurs de Mackey tout en préservant l'antisymétrie et les identités de Jacobi. - **Cohomologie de Chevalley-Eilenberg** : Cette section introduit la cohomologie de Chevalley-Eilenberg pour les foncteurs Cp-Green de type Lie, démontrant qu'elle hérite naturellement de la structure de foncteur de Mackey. - **Produit coupant** : Cette section définit le produit coupant sur les complexes de cochaînes des foncteurs de Mackey, montrant que la cohomologie graduelle H*(L,M) devient un foncteur Cp-Green de type gradué de Lie sous cet opérateur de produit coupant. - **Classification des Extensions Singulières** : Cette section classe les extensions singulières des foncteurs Cp-Green de type Lie par des bimodules, établissant une correspondance biunivoque entre les classes d'équivalence de telles extensions et le deuxième groupe de cohomologie de Chevalley-Eilenberg H2LieCp(L,M). L'article fournit un cadre complet pour étudier les structures algébriques équivalentes et ouvre la voie à des explorations supplémentaires en théorie de la déformation, en algèbre homotopique et en théorie de la représentation.