Résumé - Concentration of measure for non-linear random matrices with applications to neural networks and non-commutative polynomials Concentration de mesure pour les matrices aléatoires non linéaires avec applications aux réseaux de neurones et aux polynômes non commutatifs

Concentration of measure for non-linear random matrices with applications to neural networks and non-commutative polynomials Concentration de mesure pour les matrices aléatoires non linéaires avec applications aux réseaux de neurones et aux polynômes non commutatifs

2025-07-10 10:47:42

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Ce document de Radosław Adamczak se concentre sur la preuve d'inégalités de concentration pour divers modèles de matrices aléatoires non linéaires. L'auteur explore les applications de ces inégalités à la statistique spectrale linéaire du noyau conjugué des réseaux de neurones et aux polynômes non commutatifs dans les matrices aléatoires. L'étude s'appuie sur la théorie bien établie du comportement global des valeurs propres dans les ensembles classiques de matrices aléatoires, tels que les matrices de Wigner ou les matrices de covariance d'échantillon. Cependant, elle se tourne vers les nouveaux modèles de matrices aléatoires qui émergent du regain d'intérêt pour les réseaux de neurones. Ces nouveaux modèles intègrent des fonctions d'activation non linéaires, les différenciant des modèles classiques. Le but principal du document est d'investiguer les propriétés de concentration de ces matrices aléatoires non linéaires, en particulier leurs statistiques spectrales. L'auteur y parvient en obtenant des estimations de concentration pour les fonctions lipschitziennes, qui dépendent des propriétés des fonctions d'activation et de la distribution du réseau. L'une des découvertes clés est que les inégalités de concentration obtenues pour les ensembles dépendants sont souvent aussi fortes que celles pour les ensembles indépendants. Cela permet à l'auteur d'étendre les résultats aux polynômes non commutatifs dans les matrices aléatoires, conduisant à des estimations non asymptotiques de leurs statistiques spectrales générales. Le document explore également la connexion entre la théorie de la probabilité libre et le phénomène de concentration de mesure. Cette connexion permet de réduire la liberté quasi-sure à la liberté en attente. L'organisation du document est la suivante : - La section 2 introduit le cadre de base, y compris les hypothèses sur les matrices aléatoires et quelques faits simples relatifs à la théorie générale de la concentration de mesure. - La section 3 expose les résultats principaux, en les divisant selon les hypothèses sur les propriétés de l'ensemble de matrices aléatoires. Elle présente également diverses applications des inégalités de concentration à la théorie des matrices aléatoires et discute de l'opportunité et de la nécessité de différentes hypothèses. - La section 4 fournit les preuves des principaux théorèmes. - La section 5 fournit les preuves des corollaires. - L'annexe justifie quelques lemmes techniques simples utilisés dans les arguments. En résumé, ce document offre une analyse complète des inégalités de concentration pour les matrices aléatoires non linéaires et leurs applications aux réseaux de neurones et aux polynômes non commutatifs. Les发现 contribuent à notre compréhension des propriétés spectrales de ces modèles et à leurs implications pour le comportement des algorithmes d'apprentissage dans les réseaux de neurones.