Résumé - $PC$-A pour (non carrées) distances euclidiennes : Approximation en Temps Polynomial

$PC$-A pour (non carrées) distances euclidiennes : Approximation en Temps Polynomial

2025-07-19 14:00:50

{"Daniel Greenhut","Dan Feldman"}

{cs.LG,cs.CG,cs.DS}

Ce document présente un algorithme novateur pour calculer le médian du k-espace (kSM), qui vise à minimiser la somme des distances euclidiennes non carrées entre les points et leurs sous-espaces k-dimensionnels correspondants. L'algorithme, appelé kSM-Approx, offre une solution déterministe en temps polynomial avec un facteur d'approximation multiplicatif de d, où d est la dimensionnalité de l'espace d'entrée. Le problème kSM est délicat en raison de sa nature non convexe et de l'absence d'algorithmes efficaces. Les méthodes existantes dépendent souvent des approches aléatoires ou ont une complexité exponentielle. L'algorithme proposé répond à ces défis en utilisant une technique de relaxation convexe et une méthode de chemin central pour résoudre le problème d'optimisation resulting. Voici un résumé des contributions et des résultats clés : **Aperçu de l'algorithme** : 1. **Relaxation** : Le problème kSM est relaxé en un problème de programmation quadratique mixte (SDP)-programmation de cones de second ordre (SOCP), qui est une relaxation convexe du problème original. 2. **Optimisation** : Le problème relaxé est résolu à l'aide d'une méthode de chemin central, qui garantit une approximation additive ε de la solution optimale. 3. **Projection** : La solution optimale du problème relaxé est projetée sur l'ensemble des solutions viables du problème kSM original pour obtenir une approximation de d du kSM. **Preuve de la correction** : La correction de l'algorithme est établie en prouvant que la solution projetée minimise la somme des distances euclidiennes non carrées aux points d'entrée et est à l'intérieur d'un facteur d de la solution optimale kSM. **Temps d'exécution** : Le temps d'exécution de l'algorithme est analysé à l'aide de la méthode de chemin central et montre qu'il est polynomial en taille de l'entrée et en dimensionnalité de l'espace d'entrée. **Résultats expérimentaux** : L'algorithme est comparé avec les méthodes existantes sur des ensembles de données réels, et il montre une performance supérieure en termes d'exactitude et d'efficacité computationnelle. **Originalité** : L'algorithme proposé est novateur à plusieurs égards : * **Déterministe** : Il fournit une solution déterministe avec un facteur d'approximation garanti, contrairement aux méthodes aléatoires existantes. * **Temps polynomial** : Il a un temps d'exécution polynomial, le rendant adapté aux grandes ensembles de données. * **Relaxation convexe** : Il utilise une technique de relaxation convexe pour gérer la non convexité du problème kSM. **Conclusion** : L'algorithme kSM-Approx offre une amélioration significative par rapport aux méthodes existantes pour le calcul du médian du k-espace. Il fournit une solution déterministe en temps polynomial avec un facteur d'approximation garanti, le rendant un outil précieux pour diverses applications en analyse de données et apprentissage automatique.