Résumé - Critères simples pour les singularités rationnelles supérieures

Critères simples pour les singularités rationnelles supérieures

2025-07-10 00:34:39

{"Sándor Kovács","Pat Lank","Sridhar Venkatesh"}

{math.AG,"14B05 (primary), 32S35, 14A30, 14E15, 13D09"}

Ce travail de Sándor J Kovács, Pat Lank et Sridhar Venkatesh établit des critères simples pour détecter des singularités rationnelles supérieures en géométrie algébrique. Ces critères sont basés sur l'intersection du complexe de Du Bois et du complexe d'irrationalité d'une variété normale sur les nombres complexes. Le papier commence par introduire le concept de catégories dérivées, qui ont été cruciales en géométrie birationnelle et dans l'étude des singularités. Il met en avant l'importance des singularités rationnelles et de Du Bois, qui sont des généralisations des singularités rationnelles. Les auteurs introduisent la théorie des modules Hodge mixtes, qui est une généralisation de la théorie classique des structures de Hodge et a des applications profondes en théorie des singularités et en symétrie miroir. Ils discutent également du concept d'analogues supérieures des singularités rationnelles et de Du Bois, qui sont apparus à partir de l'étude des modules Hodge mixtes. Le résultat principal du papier est un théorème qui établit une équivalence entre l'existence de singularités pré-m-rationnelles dans une variété normale et certaines conditions sur l'intersection du complexe de Du Bois et du complexe d'irrationalité. Plus précisément, le théorème stipule qu'une variété normale a des singularités pré-m-rationnelles si et seulement si les complexes de degré associés de l'intersection du complexe de Du Bois et du complexe d'irrationalité ont des inverses à gauche. Les auteurs fournissent également une corollaire qui généralise le résultat pour les singularités rationnelles au cas des morphismes finis de variétés normales. Cette corollaire stipule que si une variété normale a des singularités pré-m-rationnelles, alors toute variété qui est finie par rapport à elle a également des singularités pré-m-rationnelles. Le papier se termine par une discussion des implications de ces résultats pour l'étude des singularités et de leurs applications en géométrie algébrique. Il est attendu que ces critères seront utiles pour la recherche future dans ce domaine.