Résumé - Théorie de Hida supérieure pour les courbes modulaires de Drinfeld

Théorie de Hida supérieure pour les courbes modulaires de Drinfeld

2025-07-10 04:31:49

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L'article "Higher Hida Theory for Drinfeld Modular Curves" de Daniel Barrera Salazar, Héctor del Castillo et Giovanni Rosso développe la théorie de Hida supérieure pour la cohomologie des fibres de lignes des formes modulaires de Drinfeld sur la courbe modulaire de Drinfeld. Cette théorie étudie la déformation des classes de cohomologie de degré supérieur, qui est une évolution plus récente par rapport à la théorie de Hida, qui se concentre sur les classes de cohomologie de degré zéro. Les résultats principaux de l'article sont : 1. Il existe deux modules de type fini Λ, M et N, portant une action de l'algèbre de Hecke de niveau premier à p, tels que pour tous k ≥ 3, il existe des isomorphismes canoniques équivariants de Hecke : M ⊗Λ,k Ap ≈ e(Tp)H0(X, ωk) N ⊗Λ,k Ap ≈ e(Tp)H1(X, ω1−k ⊗ ωD(−2D)) où D est le diviseur des cuspides et e(Tp) est le projecteur d'un opérateur de Hecke Tp. 2. Il existe une pairement parfait M × N → Λ qui interpolate la pairement de duality de Serre. Pour obtenir ces résultats, les auteurs suivent les constructions de Boxer et Pilloni pour les courbes modulaires avec quelques modifications pour traiter le fait que l'algèbre d'Iwasawa n'est pas noethérienne et que les modules de Drinfeld de rang deux ne sont pas nécessairement auto-adjoints. Les auteurs fournissent également une preuve de la version du corps de fonctions de la classique théorème des coordonnées de Serre-Tate, qui relie les courbes elliptiques aux déformations des modules de Drinfeld. Le choix de la structure de niveau est motivé par la théorie développée dans [11, 12] et permet une description plus explicite du sommet de la courbe modulaire de Drinfeld, ce qui est important pour définir diverses notions importantes utilisées dans l'article. Dans l'ensemble, l'article apporte une contribution significative à l'étude des formes modulaires de Drinfeld et de la théorie de Hida supérieure, et ouvre de nouvelles directions pour la recherche future.