Résumé - Réductibilité de Tukey généralisée entre les ensembles directement $\sigma$-directés

Réductibilité de Tukey généralisée entre les ensembles directement $\sigma$-directés

2025-07-09 22:13:59

{"Hiroshi Sakai","Toshimasa Tanno"}

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L'article de Hiroshi Sakai et Toshimasa Tanno présente le concept de réductibilité pré-Tukey, qui est une généralisation de la réductibilité Tukey entre des ensembles directs et fonctionne bien dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sans l'Axiome du Choix (ZF). Les auteurs explorent la réductibilité pré-Tukey entre plusieurs ensembles directs σ sous certaines hypothèses sur les ensembles de réels qui sont valides dans le modèle de Solovay et dans le modèle interne L(R) satisfaisant l'Axiome de Détermination (AD). Dans l'introduction, les auteurs mettent en avant l'importance des ensembles directs en théorie des ensembles et le rôle de la réductibilité Tukey dans leur comparaison. Ils notent que la réductibilité Tukey dépend fortement de l'Axiome du Choix (AC) et introduisent la réductibilité pré-Tukey pour aborder ce problème. La réductibilité pré-Tukey permet de comparer des ensembles directs sans AC, car elle montre que si deux ensembles directs sont équivalents sous réductibilité pré-Tukey, ils sont similaires cofinalement, ce qui signifie qu'ils peuvent tous deux être imbriqués cofinalement dans un ensemble direct. L'article présente ensuite plusieurs définitions et concepts clés. Il introduit la notation pour les ensembles ordonnés, y compris les pré-ordres, les ordres partiels, les ordres directs et les immersions. Les auteurs discutent également de la notation pour les forçages, qui sont utilisés pour construire des modèles de théorie des ensembles. L'accent principal de l'article est la relation pré-Tukey. Les auteurs définissent cette relation et fournissent des exemples pour illustrer ses propriétés. Ils prouvent que la relation pré-Tukey est caractérisée par l'existence de cartes qui généralisent les cartes Tukey et les cartes convergentes. Ils établissent également une relation entre les cartes Tukey (convergentes) et les cartes pré-Tukey (pré-convergentes). L'article investigate ensuite les relations pré-Tukey entre plusieurs ensembles directs σ, y compris (ωω,≤∗), (M,⊆), (N ,⊆), (ω1,≤) et ([ωω]ω,⊆), sous des hypothèses sur les ensembles de réels qui sont valides dans le modèle de Solovay et dans L(R) satisfaisant AD. Les auteurs prouvent que (ωω,≤∗) ⪯pT (M,⊆) ⪯pT (N ,⊆) peut être prouvé dans ZF + DC, et ils fournissent une preuve des relations pré-Tukey entre ces cinq ensembles directs dans des modèles de ZF+DC+(⋆), qui sont illustrés dans la Figure 1. L'article conclut avec plusieurs questions pour la recherche future. Une question s'interroge sur l'implication de la concurrence de la relation Tukey et de la réductibilité pré-Tukey de l'Axiome du Choix (AC). Une autre question enquire à propos de la généralisation du lien Galois-Tukey à ZF et de son comportement dans les modèles de ZF+DC+(⋆). En résumé, l'article introduit la réductibilité pré-Tukey et explore ses propriétés et applications. Il fournit un cadre pour comparer des ensembles directs sans s'appuyer sur l'Axiome du Choix et enquête sur les relations pré-Tukey entre plusieurs ensembles directs σ sous des hypothèses spécifiques. L'article soulève également plusieurs questions pour la recherche future dans ce domaine.