Résumé - Flattening en $L^2$ des mesures auto-similaires sur des courbes non-dégénérées

Flattening en $L^2$ des mesures auto-similaires sur des courbes non-dégénérées

2025-07-09 22:45:19

{"Amir Algom","Osama Khalil"}

{math.CA,math.DS}

Ce texte par Amir Algom et Osama Khalil explore les propriétés des mesures auto-similaires sur les courbes non-dégénérées dans Rd, où d ≥ 1. Une mesure auto-similaires est une mesure de probabilité borelienne sur la ligne réelle R qui satisfait la condition de stationnarité, ce qui signifie qu'elle peut être décomposée en une somme de copies étalées et décalées d'elle-même. L'accent est mis sur la norme Lp de la transformée de Fourier de ces mesures lorsqu'elles sont poussées par une courbe non-dégénérée ou non-trappée. Le résultat principal, le Théorème 1.1, stipule que pour toute mesure auto-similaires non atomique µ sur R et toute courbe non-trappée ou non-dégénérée Q : U → Rd, il existe un constant p > 1 tel que la norme Lp de la mesure poussée ν = Qµ est bornée par Oε(R^ε) pour tous R > 1, où B(R) est le ballon R autour de l'origine dans Rd. Cela implique que la convolution avec ν améliore la dimension L2 quantitativement. Le papier présente également une corollaire qui montre que pour toute mesure ν satisfaisant les conditions du Théorème 1.1, la limite de la dimension Lq lorsque n tend vers l'infini est égale à la dimension environnementale d pour tous q ∈ [2, ∞]. De plus, il existe un constant η > 0 tel que pour toute mesure de probabilité borelienne θ, si la somme des moments de θ dépasse un certain seuil, alors la somme des moments de θ convoluée avec ν est bornée par une puissance de la somme des moments de θ. La preuve du Théorème 1.1 implique deux principales étapes. La première étape, l'Proposition 1.5, établit une décroissance uniforme ponctuelle de la transformée de Fourier de la mesure poussée ν loin du premier coordonnée. La deuxième étape, l'Proposition 1.4, traite la région proche de la première coordonnée. La preuve repose sur l'exponentiel de Frostman des projections de la mesure auto-similaires et l'estimation des grandes déviations pour la transformée de Fourier. Le papier compare les résultats avec les travaux précédents en analyse harmonique, géométrie fractale et systèmes dynamiques. Il met en lumière les propriétés uniques des mesures auto-similaires qui permettent ces améliorations par rapport aux résultats précédents. Les auteurs discutent également des généralisations potentielles et des questions ouvertes liées au problème.