Résumé - Fonctions carrées et estimations variationnelles pour les opérateurs de Ritt sur $L^1$

Fonctions carrées et estimations variationnelles pour les opérateurs de Ritt sur $L^1$

2025-07-09 20:02:38

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{math.FA,"47A35, 47Axx, 28Dxx, 37Axx, 58J51, 37A30"}

Cette recherche par Jennifer Hults et Karin Reinhold-Larsson explore les propriétés des opérateurs de Ritt sur l'espace L1, en se concentrant sur les fonctions carrées et les estimations variationnelles. Les opérateurs de Ritt constituent une classe d'opérateurs linéaires bornés qui ont attiré l'intérêt en raison de leur calcul fonctionnel et de leurs applications en analyse harmonique et en théorie ergodique. Le papier étend les résultats précédents sur les fonctions carrées dans les espaces Lp (où 1 < p < ∞) au cas extrême p = 1, spécifiquement pour les opérateurs de Ritt sur L1. Les contributions clés sont : 1. **Fonction carrée généralisée** : Le papier introduit la fonction carrée généralisée Qα,s,mf, définie pour un opérateur de Ritt T et une fonction f. Cette fonction est montrée être bornée sur L1 sous certaines conditions. 2. **Opérateurs de convolution** : Les auteurs analysent le cas où T est un opérateur de convolution de la forme Tµ = ∑k µ(k)Ukf, avec µ une mesure de probabilité sur Z et U un opérateur de composition induit par une transformation métrisante ergodique inversible. Ils fournissent des conditions suffisantes pour que la fonction carrée Q2m−1,2,m soit de type faible (1,1). 3. **Normes variationnelles et oscillatoires** : Le papier établit des bornes pour les normes variationnelles et oscillatoires des opérateurs de Ritt, mettant en lumière leur comportement aux points extrémaux. Cela inclut les bornes pour les normes ‖nβTn(1 − T )r‖v(s) et ‖nβTn(1 − T )r‖o(s). 4. **Cadres spécifiques** : Les auteurs fournissent des réponses à des questions ouvertes liées aux bornes de type faible (1,1) pour les normes variationnelles et oscillatoires des opérateurs de la forme τµ, où τ est une transformation métrisante inversible et µ une mesure de probabilité avec certaines propriétés. L'article est organisé comme suit : - **Introduction** : Fournit un contexte sur les opérateurs de Ritt et leurs propriétés, ainsi que les définitions des fonctions carrées et des normes variationnelles. - **Résultats principaux** : Contient des thèmes et des propositions qui présentent les résultats principaux de l'article, y compris la bornance de la fonction carrée généralisée et les bornes pour les normes variationnelles et oscillatoires. - **Lemmes techniques** : Introduit des lemmes techniques clés utilisés dans la preuve des résultats principaux. - **Preuves** : Contient des preuves détaillées des résultats principaux pour le cas spécifique de Tµ, ainsi que pour les opérateurs de Ritt généraux. - **Cas métrisants** : Fournit des réponses à des questions ouvertes liées aux bornes de type faible (1,1) pour les normes variationnelles et oscillatoires des opérateurs de la forme τµ. L'article apporte des contributions significatives à la théorie des opérateurs de Ritt et à leurs applications en analyse harmonique et en théorie ergodique. Il fournit une analyse complète des fonctions carrées et des estimations variationnelles pour les opérateurs de Ritt sur L1, et il ouvre de nouvelles voies de recherche dans ce domaine.