Résumé - Piste pour le complexe Du Bois

Piste pour le complexe Du Bois

2025-07-10 00:34:18

{"Hyunsuk Kim"}

{math.AG,"14B05, 32S35"}

L'article "TRACE FOR THE DU BOIS COMPLEX" de Hyunsuk Kim explore la construction d'un morphisme de trace entre les complexes de Du Bois des variétés algébriques et ses applications au comportement de la dimension cohomologique locale et aux aspects théoriques de Hodge des singularités sous les morphismes finis. Le complexe de Du Bois, introduit par Philippe Du Bois dans les années 1980, est un complexe filtré qui sert de substitut au complexe de de Rham lorsque l'on traite des variétés singulières. Il joue un rôle crucial dans l'étude des notions supérieures de Du Bois et des singularités rationnelles, ainsi que des structures de Hodge sur les variétés propres. L'article aborde la question de l'existence d'une carte de trace pour le complexe de Du Bois dans le contexte des morphismes finis surjectifs entre des variétés algébriques normales. Kim prouve que pour une variété X et un quotient de groupe fini π = πX : X → X′, la composition des morphismes naturels entre les complexes de Du Bois est une isomorphisme dans la catégorie dérivée filtrée. Ce résultat est étendu aux morphismes finis surjectifs entre des variétés normales, en fournissant une carte de trace entre les complexes de Du Bois. La carte de trace a plusieurs conséquences, y compris : 1. Elle offre un moyen de comparer les dimensions cohomologiques locales des variétés liées par des morphismes finis. 2. Elle permet l'étude des aspects théoriques de Hodge des singularités sous les morphismes finis. 3. Elle implique que si une variété possède des singularités pré-m-Du Bois ou pré-m-rationnelles, alors son image sous un morphisme fini possède également les mêmes singularités. L'article discute également de la dimension cohomologique locale, qui mesure la complexité des singularités dans une variété. Il montre que la dimension cohomologique locale d'une variété est préservée sous les morphismes finis, fournissant un outil pour comparer les singularités des variétés liées. De plus, l'article explore les notions de Du Bois et de rationalité supérieures des variétés. Il démontre que l'existence du morphisme de trace fournit une explication plus claire pour certains résultats relatifs aux singularités supérieures de Du Bois et aux singularités rationnelles supérieures des variétés. En résumé, "TRACE FOR THE DU BOIS COMPLEX" fait une contribution précieuse à l'étude des variétés algébriques, offrant des aperçus sur le comportement de la dimension cohomologique locale et des aspects théoriques de Hodge des singularités sous les morphismes finis. Les résultats présentés dans l'article ont des implications pour la compréhension des notions supérieures de Du Bois et des singularités rationnelles, ainsi que des structures de Hodge sur les variétés propres.