Résumé - L'hypothèse géométrique P=W et la compactification de Thurston

L'hypothèse géométrique P=W et la compactification de Thurston

2025-07-09 18:34:32

{"Ashwin Ayilliath-Kutteri","Mohammad Farajzadeh-Tehrani","Charles Frohman"}

{math.GT,math.AG,math.QA,"14M35, 57K31"}

L'article de Ashwin Ayilliath-Kutteri, Mohammad Farajzadeh-Tehrani et Charles Frohman explore la relation entre le conjecture géométrique P=W et la compactification de Thurston de l'espace de Teichmüller. Plus spécifiquement, il dérive une formule explicite pour l'immersion des classes d'isotopie des multicourbes sur une surface fermée de genre g dans N9g−9 et relie ce résultat à la conjecture géométrique P=W pour SL(2,C). La conjecture géométrique P=W concerne les compactifications projectives des variétés de caractères des surfaces fermées. Les auteurs construisent une compactification projective de la variété de caractères SL(2,C) pour toute surface fermée de genre g > 1, où les diviseurs de bord sont des orbifolds toriques et leur complexe dual d'intersection est une sphère. L'article introduit les coordonnées Dehn-Thurston, qui sont utilisées pour représenter les multicourbes sur une surface. Il fournit ensuite une formule explicite pour les nombres d'intersection des multicourbes avec une collection spécifique de 9g−9 courbes, ce qui est lié au Théorème (9g − 9). Les auteurs établissent également une connexion entre ces nombres d'intersection et les coordonnées DT modifiées, qui sont utilisées pour résoudre les problèmes liés à la carte produit dans l'algèbre de skein. Le résultat principal de l'article est un théorème qui stipule qu'une collection de 9g − 9 courbes définit une compactification projective normale de la variété de caractères SL(2,C) pour une surface fermée de genre g > 1. Le diviseur de bord de cette compactification est une union d'orbifolds toriques intersectant le long des strates toriques, et le complexe d'intersection du diviseur de bord est dual au complexe polytope des moments de la compactification. Les auteurs discutent également des implications de leurs résultats pour la conjecture géométrique P=W et la frontière de Thurston de l'espace de Teichmüller. Ils notent que leur construction fournit une connexion forte entre la sphère envisagée dans la conjecture géométrique P=W et la frontière de Thurston de l'espace de Teichmüller. En résumé, l'article apporte une contribution significative à l'étude de la conjecture géométrique P=W et de la compactification de Thurston de l'espace de Teichmüller. Il dérive une formule explicite pour l'immersion des classes d'isotopie des multicourbes sur une surface fermée dans N9g−9 et construit une compactification projective de la variété de caractères SL(2,C) qui satisfait la conjecture géométrique P=W.