Résumé - Invariants des algèbres de courants tordues et sous-algèbres de Poisson-commutatives associées

Invariants des algèbres de courants tordues et sous-algèbres de Poisson-commutatives associées

2025-07-10 17:41:26

{"Dmitri Panyushev","Oksana Yakimova"}

{math.RT,math-ph,math.MP}

Cette recherche de D. I. Panyushev et O. S. Yakimova explore les propriétés des algèbres de courants tordus et de leurs sous-algèbres Poisson-commutatives associées. L'accent principal est mis sur l'extension des automorphismes d'un algèbre de Lie à dimension finie q à l'algèbre de boucles q̂ = q[t, t−1], et l'étude du sous-algèbre fixe q̂ϑ. Les auteurs commencent par considérer une automorphisme ϑ d'ordre m de q et l'étendent à une automorphisme de q̂. Ils définissent ensuite le sous-algèbre fixe q̂ϑ et analysent sa structure en utilisant le décomposition q̂ϑ = q[t]ϑ ⊕ (t−1q[t−1])ϑ. Ils construisent les sous-algèbres Z1 ⊂ S(q[t]ϑ) et Z2 ⊂ S((t−1q[t−1])ϑ) et prouvent que si q est réductif, Z1 et Z2 sont Poisson-commutatives. Ils montrent également que Z1 est toujours un anneau polynomial avec un nombre infini de générateurs, décrit explicitement. Les algèbres Z1 et Z2 sont montrées être des versions tordues Poisson de l'algèbre sous-algèbre universel de Gaudin et du centre de Feigin-Frenkel, respectivement. Une homomorphisme de algèbre de Lie naturelle ψ : q̂ϑ → q[t, t−1]ϑ/(tm − 1) ∼= q est considérée, et il est montré que ψ(Z1) et ψ(Z2) sont étroitement liés aux sous-algèbres Poisson-commutatives de S(q) construites par Panyushev-Yakimova en 2021. Les auteurs fournissent une description explicite de ψ(Z2) sous certaines hypothèses sur ϑ, tandis que ψ(Z1) est décrit pour tous ϑ et toutes les algèbres de Lie réductives q. L'introduction met en place en décrivant le corps de base, les algèbres de Lie et les variétés Poisson. Les auteurs introduisent ensuite l'algèbre de boucles q̂ et sa décomposition en q[t−1] et tq[t], en identifiant tq[t] avec l'espace de quotient q[t, t−1]/q[t−1]. Ils définissent le sous-algèbre Z(q̂) des invariants de q̂ et étudient ses propriétés. Les auteurs discutent également de l'algèbre affine Kac-Moody (non tordu) ĝKM associée à une algèbre de Lie réductive g et ses sous-algèbres. Ils étudient les invariants de ces sous-algèbres et montrent que Z(ĝ) est isomorphe au centre de Feigin-Frenkel, et Z(ĝ, t−1) est isomorphe à l'algèbre sous-algèbre universel de Gaudin. Le papier aborde également un problème ouvert concernant l'existence de sous-algèbres commutatives dans U(q[t]) et U(g[t]) qui quantifient Z(q̂), Z(q̂, [0]), Z(ĝϑ, t) et Z(ĝϑ, [0]) avec ϑ non trivial. Dans l'ensemble, le papier fournit une étude complète des algèbres de courants tordus et de leurs sous-algèbres Poisson-commutatives, avec un focus sur le cas réductif. Les résultats obtenus ont des implications pour la théorie de la représentation et la géométrie des algèbres de Lie.