Ce papier explore le concept de problèmes d'inscription dans les géométries non-euclidiennes, en se concentrant en particulier sur les surfaces de Riemann de courbure constante. L'auteur, Ali Naseri Sadr, commence par généraliser le problème de l'inscription de quadrilatères cycliques dans le plan aux surfaces de Riemann. Il introduit le concept de quadrilatères cycliques et leurs types de similarité sur ces surfaces en utilisant des idées de géométrie symplectique et riemannienne.
L'article est structuré comme suit :
- La section 1 présente le problème et fournit les définitions et théorèmes nécessaires.
- La section 2 prouve l'existence de quadrilatères cycliques inscrits dans des courbes Jordan lisses dans le plan hyperbolique.
- La section 3 prouve l'existence de rectangles inscrits dans des courbes Jordan lisses sur la sphère de deux dimensions qui ne se croisent pas avec leurs points antipodaux.
Les résultats principaux sont les suivants :
1. **Théorème 1.4** : Une courbe fermée et immergée lisse dans le plan hyperbolique inscrit un quadrilatère cyclique de type (θ, φ1, φ2) pour tout triplet d'angles satisfaisant les conditions données.
2. **Théorème 1.5** : Une courbe Jordan lisse sur la sphère de deux dimensions qui ne se croise pas avec ses points antipodaux inscrit un rectangle de type θ pour tout θ dans l'intervalle (0, π).
La preuve du Théorème 1.4 implique de construire un tore lagrangien dans le plan hyperbolique et d'utiliser le nombre de Maslov pour montrer qu'il a des intersections, qui correspondent aux quadrilatères cycliques inscrits. La preuve du Théorème 1.5 repose sur l'existence d'un flot hamiltonien sur la sphère de deux dimensions qui génère des rectangles et utilise le quotient symplectique pour montrer que le tore lagrangien resultant a des intersections non vides.
L'article se termine par quelques questions et conjectures pour la recherche future, y compris la possibilité de prouver des résultats similaires pour d'autres surfaces de Riemann et l'existence d'inscriptions périodiques dans le plan hyperbolique.