Résumé - Géodésiques Morse sous-linéaires et Percolation du premier passage

Géodésiques Morse sous-linéaires et Percolation du premier passage

2025-07-10 15:40:00

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{math.GT,math.PR,"20F65, 20P05"}

Ce document de Sagnik Jana et Yulan Qing enquête sur l'existence de lignes géodésiques bi-infinies dans des graphes connexes infinis à degré borné, sous des conditions spécifiques sur la distribution des longueurs des arcs et la présence d'une ligne géodésique bi-infinie Morse sous-linéaire. La recherche s'appuie sur des travaux antérieurs dans le domaine de la percolation de passage premier (FPP) et des géodésiques Morse, et généralise un résultat de [BT17]. Le document définit le FPP comme un modèle où des longueurs aléatoires, indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.), sont assignées aux arcs d'un graphe. Il examine ensuite l'existence de lignes géodésiques infinies dans de tels graphes, en se concentrant sur le modèle le plus simple où les poids des arcs sont assignés de manière aléatoire. La contribution clé du document consiste à prouver le théorème suivant : Théorème A : Soit X un graphe connexe infini à degré borné. Supposons que Eωe < ∞ et ν(0) = 0. Si X contient une ligne quasi-géodésique bi-infinie Morse sous-linéaire, alors pour presque toutes les ω, il existe un rayon géodésique bi-infini dans Xω. La preuve repose sur le concept de recurrence moyenne, une propriété des géodésiques Morse qui a été introduite pour la première fois par Drutu-Mozes-Sapir dans [DMS09]. Les auteurs généralisent cette propriété aux rayons quasi-géodésiques Morse sous-linéaires et l'utilisent pour dériver une propriété de divergence superlinéaire pointée. Cette propriété est ensuite utilisée dans la preuve principale du Théorème A. Le document discute également de l'histoire du FPP et des géodésiques Morse, y compris les travaux de Hammersley et Welsh, Benjamini, Tessera et Zeitouni, et Basu-Mj. Il mentionne également les développements récents des frontières Morse sous-linéaires et leurs applications dans le FPP. Les auteurs posent plusieurs questions ouvertes, y compris si la propriété Morse sous-linéaire peut être détectée sur la ligne géodésique bi-infinie exposée dans le document et si le FPP préserve la propriété Morse de la ligne géodésique bi-infinie. En résumé, ce document apporte une contribution significative à l'étude du FPP et des géodésiques Morse, généralisant un résultat antérieur et fournissant de nouvelles insights sur l'existence de lignes géodésiques bi-infinies dans des graphes connexes infinis.