Résumé - Structures de données compressées pour les coupures de Heegaard

Structures de données compressées pour les coupures de Heegaard

2025-07-15 15:24:49

{"Henrique Ennes","Clément Maria"}

{cs.CG,cs.DS,math.GT}

Le document présente une nouvelle structure de données pour représenter les diagrammes de Heegaard, qui sont utilisés pour décrire les 3-manifolds fermés en collant des anneaux de poignet le long d'une surface commune. La structure de données proposée utilise des coordonnées normales pour représenter les diagrammes de Heegaard, ce qui permet d'obtenir une représentation considérablement plus compressée par rapport aux triangulations traditionnelles des 3-manifolds. ### Points clés : 1. **Faisceaux de Heegaard et Diagrammes** : Les faisceaux de Heegaard fournissent un moyen naturel de représenter les 3-manifolds fermés en collant des anneaux de poignet le long d'une surface commune. Ces faisceaux peuvent être décrits équivalemment par des diagrammes de Heegaard, qui consistent en deux ensembles de méridiens se trouvant dans la surface. 2. **Structure de données** : Le document propose une structure de données pour représenter les diagrammes de Heegaard en utilisant des coordonnées normales. Cette structure se compose d'une triangulation de la surface, d'une représentation en arc des méridiens et des coordonnées normales des méridiens. 3. **Complexité** : La structure de données proposée est considérablement plus compressée que les triangulations traditionnelles des 3-manifolds. La complexité de la structure de données est mesurée par l'espace nécessaire pour exprimer les vecteurs des coordonnées normales en binaire. 4. **Algorithmes** : Le document établit des algorithmes en temps polynomial pour diverses opérations sur les diagrammes de Heegaard, y compris la comparaison et la manipulation des diagrammes, la stabilisation, la détection des stabilisations triviales et des réductions, et le calcul des invariants topologiques des manifolds sous-jacents. 5. **Comparaison avec les méthodes existantes** : Le document compare la structure de données proposée et les algorithmes avec les logiciels existants pour les 3-manifolds, tels que SnapPy. Les résultats montrent que l'approche proposée atteint une meilleure précision et des algorithmes plus rapides pour les cas moyens et des gains exponentiels en vitesse pour certaines présentations particulières des entrées. ### Avantages : 1. **Représentation compressée** : La structure de données proposée offre une représentation plus compacte des diagrammes de Heegaard, ce qui peut conduire à des algorithmes plus efficaces et des besoins en stockage réduits. 2. **Opérations efficaces** : Les algorithmes en temps polynomial pour diverses opérations sur les diagrammes de Heegaard facilitent la manipulation et l'analyse de ces diagrammes. 3. **Performance améliorée** : La comparaison avec les méthodes existantes démontre l'amélioration de la précision et de la performance de l'approche proposée. ### Applications potentielles : La structure de données proposée et les algorithmes peuvent être utilisés dans diverses applications, y compris : 1. **Classification des 3-manifolds** : La représentation efficace et la manipulation des diagrammes de Heegaard peuvent faciliter la classification des 3-manifolds. 2. **Analyse topologique** : La capacité de calculer des invariants topologiques à partir des diagrammes de Heegaard peut être utile pour analyser les propriétés des 3-manifolds. 3. **Informatique quantique** : L'approche proposée peut potentiellement être appliquée à l'informatique quantique, où la représentation efficace des 3-manifolds est cruciale pour simuler les systèmes quantiques. Dans l'ensemble, le document présente une approche nouvelle et efficace pour représenter et manipuler les diagrammes de Heegaard, ce qui peut avoir des implications significatives pour l'étude des 3-manifolds et des domaines associés.