Résumé - Une inégalité empirique de Bernstein pour les données dépendantes dans les espaces de Hilbert et applications

Une inégalité empirique de Bernstein pour les données dépendantes dans les espaces de Hilbert et applications

2025-07-10 14:58:28

{"Erfan Mirzaei","Andreas Maurer","Vladimir R. Kostic","Massimiliano Pontil"}

{cs.LG,stat.ML}

L'article "An Empirical Bernstein Inequality for Dependent Data in Hilbert Spaces and Applications" par Erfan Mirzaei et collègues aborde le défi d'apprendre à partir de données non indépendantes et non identiquement distribuées (non-i.i.d.), qui est un problème courant dans les scénarios réels. Les auteurs introduisent des inégalités de Bernstein dépendantes des données spécialement conçues pour les processus vectoriels dans l'espace de Hilbert, qui est un cadre général pour modéliser des phénomènes complexes dans divers domaines, y compris la finance, la neuroscience et la science du climat. La motivation clé de ce travail est le besoin de techniques statistiques robustes capables de gérer des données non-i.i.d., en particulier dans le contexte de l'apprentissage des opérateurs associés aux systèmes dynamiques stochastiques. Ces systèmes sont essentiels pour modéliser des phénomènes complexes, tels que les fluctuations des prix des actifs, la variabilité neuronale et la dynamique atmosphérique turbulente. Les auteurs proposent de nouvelles inégalités empiriques de Bernstein (EBI) applicables à des processus stationnaires et non stationnaires et exploitent le potentiel de décroissance rapide des corrélations entre variables temporellement éloignées pour améliorer l'estimation. En combinant ces inégalités avec des estimations précises de leur terme de variance, les auteurs différencient leurs bornes empiriques des travaux connexes et montrent leur nouveauté par rapport aux approches existantes. L'article présente plusieurs contributions : 1. **Nouvelles inégalités empiriques de Bernstein** : Les auteurs introduisent des EBIs pour une séquence de vecteurs dans un espace de Hilbert, qui est une première application aux variables faiblement dépendantes dans cet espace. 2. **Bornes d'estimation améliorées** : Les auteurs appliquent ces inégalités pour dériver des bornes d'estimation pour les matrices de covariance et de covariance croisée du processus, montrant des améliorations par rapport aux bornes récentes dans le contexte des systèmes dynamiques stochastiques et de la régression opératrice de Koopman (KOR). 3. **Bornes de risque pour l'apprentissage de processus stochastiques** : Les auteurs utilisent leur EBI pour prouver des bornes de risque pour l'apprentissage de processus stochastiques, évitant ainsi les hypothèses de régularité et offrant une approche plus pratique par rapport aux méthodes existantes. 4. **Expériences** : Les auteurs présentent des expériences illustrant les implications pratiques de leurs bornes dans l'estimation de la covariance et l'apprentissage des systèmes dynamiques, démontrant leur efficacité dans des régimes de taille d'échantillon modérée et leur potentiel en tant qu'outil de sélection de modèle pratique. Dans l'ensemble, l'article apporte une contribution précieuse au domaine de l'apprentissage statistique à partir de données non-i.i.d., offrant de nouvelles perspectives et outils pour la modélisation et la compréhension de phénomènes complexes.