Résumé - Intersections des automorphismes et des strates d'Ekedahl-Oort dans $M_2$

Intersections des automorphismes et des strates d'Ekedahl-Oort dans $M_2$

2025-07-09 20:56:52

{"Alvaro Gonzalez-Hernandez"}

{math.AG,math.NT,"11G15, 11G20, 14K10 (Primary), 11G10, 14G17, 14K15 (Secondary)"}

Ce papier d'Alvaro Gonzalez-Hernandez explore l'intersection des strates d'automorphisme et des strates d'Ekedahl-Oort dans l'espace des modules des courbes de genre deux sur un corps de caractéristique positive. Les objectifs principaux sont de déterminer si une courbe de genre deux existe avec un groupe d'automorphisme spécifié et des rangs spécifiques de sa variété Jacobienne, et d'étudier les propriétés géométriques du ensemble des courbes satisfaisant ces conditions. Le papier commence par réviser les invariants d'Igusa, qui sont un ensemble de cinq fonctions qui déterminent une courbe de genre deux de manière unique jusqu'à isomorphisme. Il aborde ensuite les groupes d'automorphisme des courbes de genre deux sur les corps de caractéristique positive, fournissant une paramétrisation des familles de courbes avec un groupe d'automorphisme donné. L'auteur présente un algorithme pour calculer les strates des courbes de genre deux avec un type Ekedahl-Oort fixé, qui est un invariant qui classe la p-torsion d'une variété abélienne. L'algorithme implique de calculer la matrice de Hasse-Witt de la variété Jacobienne de la courbe et de l'utiliser pour déterminer le type Ekedahl-Oort. Le papier puis calcule les dimensions et le nombre de composantes irreductibles des intersections entre les strates d'automorphisme et d'Ekedahl-Oort. L'auteur fournit des tableaux avec les résultats pour différentes caractéristiques et groupes d'automorphisme. Certaines des découvertes clés incluent : 1. Les strates d'automorphisme sont déterminées par les groupes d'automorphisme possibles des courbes de genre deux sur les corps de caractéristique positive. 2. Les strates d'Ekedahl-Oort sont déterminées par le type Ekedahl-Oort, qui est un invariant qui classe la p-torsion d'une variété abélienne. 3. Les intersections des strates d'automorphisme et d'Ekedahl-Oort ont des dimensions et des nombres de composantes irreductibles variables, en fonction de la caractéristique et du groupe d'automorphisme. 4. Le papier fournit une paramétrisation rationnelle de la strate des courbes avec un groupe d'automorphisme C2 et explique la connexion entre cette strate et l'espace des modules des paires de courbes elliptiques avec des structures de niveau 2. Dans l'ensemble, ce papier offre une étude complète de l'intersection des strates d'automorphisme et d'Ekedahl-Oort dans l'espace des modules des courbes de genre deux sur un corps de caractéristique positive. Il présente de nouveaux résultats et fournit des aperçus sur les propriétés géométriques et arithmétiques de ces courbes.