Ce document investigate la structure et la préservation des paires parallèles et des paires d'atteinte de l'égalité triangulaire (TEA) dans les espaces vectoriels normés. Ces paires sont importantes pour comprendre la structure géométrique des espaces vectoriels normés et la nature des vecteurs qu'ils contiennent.
L'étude commence par fournir des caractérisations fonctionnelles de ces paires dans les espaces vectoriels normés et une caractérisation des espaces Banach finis à index numérique un. Elle explore ensuite les paires parallèles et les paires TEA dans le somme direct p des espaces vectoriels normés.
Le document montre que dans les espaces Banach finis, un opérateur linéaire borné bijectif préserve les paires TEA si et seulement si il préserve les paires parallèles, et cette équivalence reste valable dans les espaces polyédraux finis pour les opérateurs de rang supérieur à un. Le document explore également les conséquences géométriques liées à cette préservation et fournit une caractérisation des isométries sur certains espaces Banach polyédraux en tant qu'opérateurs bijectifs de norme un qui préservent la norme aux points extrémaux et qui préservent également les paires parallèles ou TEA.
Les découvertes clés incluent :
- Les conditions nécessaires et suffisantes pour les paires parallèles et TEA dans les espaces vectoriels normés sont fournies.
- Une caractérisation des espaces Banach finis à index numérique un est présentée.
- Les paires TEA et parallèles dans le somme direct p de deux espaces vectoriels normés sont examinées.
- La préservation des paires parallèles et TEA par un opérateur linéaire est étudiée.
- L'équivalence entre la préservation des paires TEA et la préservation des paires parallèles par des opérateurs linéaires bornés bijectifs est établie.
- Les aspects géométriques des espaces pertinents sont explorés, en particulier en ce qui concerne la préservation des paires parallèles et TEA.
- Les isométries sur une classe d'espaces Banach polyédraux sont caractérisées en tant qu'opérateurs bijectifs de norme un qui préservent la norme aux points extrémaux et qui préservent également les paires parallèles ou TEA.
L'étude fournit une compréhension complète de la préservation des paires parallèles et TEA dans les espaces vectoriels normés et de leurs implications dans divers domaines mathématiques.