Ce document discute du calcul des fréquences de patchs dans les réalisations géométriques des substitutions primitives à l'aide de relations de renormalisation exactes. Le principal objectif est de fournir une méthode pour calculer la fréquence exacte de tout patch donné et, ainsi, déterminer son caractère légal, dans les systèmes découlant des substitutions primitives.
Le document revient d'abord sur les notions pertinentes de dynamique symbolique et les méthodes pour passer d'un cadre symbolique à un cadre géométrique. Il utilise ensuite un tiling auto-similar à partir d'une transversale de l'enveloppe géométrique pour calculer la fréquence relative de tout patch donné. Le document dérive des équations de renormalisation exactes pour les fréquences de patchs (Théorème 2) et montre qu'elles possèdent une solution unique (Théorème 4).
Le document illustre également comment passer de la configuration géométrique à la configuration symbolique dans l'exemple de Fibonacci et propose une méthode pour dériver la fréquence de patch pour la configuration symbolique et pour d'autres suspensions sous certaines hypothèses mineures sur la fonction de toit et la substitution (Théorèmes 10 et 12).
Les découvertes clés du document sont :
1. Une méthode explicite pour calculer les fréquences de patchs dans les réalisations géométriques des substitutions primitives à l'aide de relations de renormalisation exactes.
2. L'existence d'une solution unique aux équations de renormalisation exactes pour les fréquences de patchs.
3. Une méthode pour passer de la configuration géométrique à la configuration symbolique et dériver la fréquence de patch pour la configuration symbolique et pour d'autres suspensions sous certaines hypothèses mineures.
Le document démonstre l'efficacité de la méthode proposée à travers l'exemple de Fibonacci et fournit un cadre pour étendre l'approche à d'autres systèmes.
Dans l'ensemble, le document contribue à la compréhension des fréquences de patchs dans les réalisations géométriques des substitutions primitives et fournit un outil précieux pour l'étude de la dynamique symbolique et de l'ordre aperiodique.