Ce document fournit une interprétation géométrique de l'algorithme de multiplication de matrices 2x2 de Strassen. Il montre que l'algorithme de Strassen apparaît naturellement à partir de l'expansion d'une forme de volume tridimensionnelle en une somme antisymétrisée de 6 tenseurs simples. Cette interprétation géométrique apporte de nouvelles idées sur la structure de l'algorithme de Strassen et ses relations avec d'autres concepts mathématiques.
Le document commence par introduire le concept de forme de volume sur l'espace de quotient des matrices 2x2 par les multiples de la matrice identité. Cette forme de volume est un objet tridimensionnel qui peut être développé en une somme antisymétrisée de 6 tenseurs simples. Le document montre ensuite que l'algorithme de Strassen peut être dérivé de cette expansion.
L'idée clé consiste à rattacher la forme de volume à une autre forme trilinéaire appelée h. La forme trilinéaire h peut être exprimée comme la composition de la forme de volume g avec une application linéaire induite par la permutation (321). Cela permet de transporter certaines décompositions de rang 6 de g dans des décompositions de rang 6 de h.
Le document utilise ensuite l'algèbre tensorielle pour prouver que h peut être exprimée comme une somme antisymétrisée de 7 tenseurs simples. Dualisant cette expression, on obtient une décomposition de rang 7 de la multiplication de matrices.
Le document conclut en montrant que l'algorithme original de Strassen peut être obtenu en appliquant les résultats ci-dessus à l'espace vectoriel deux-dimensionnel k^2.
Cette interprétation géométrique de l'algorithme de Strassen présente plusieurs avantages :
* Elle offre une compréhension plus intuitive de la structure de l'algorithme.
* Elle montre que l'algorithme de Strassen est lié à d'autres concepts mathématiques, tels que les formes de volume et l'algèbre tensorielle.
* Elle pourrait mener à de nouvelles idées pour le développement d'algorithmes de multiplication de matrices plus rapides.
En résumé, ce document propose une interprétation géométrique nouvelle de l'algorithme de multiplication de matrices 2x2 de Strassen. Il montre que l'algorithme apparaît naturellement à partir de l'expansion d'une forme de volume tridimensionnelle et apporte de nouvelles idées sur sa structure et ses relations avec d'autres concepts mathématiques.