Resumen - Sobre la controlabilidad nula local de un sistema de Burgers viscoso en tiempo finito

Sobre la controlabilidad nula local de un sistema de Burgers viscoso en tiempo finito

2025-07-10 05:40:41

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Este artículo investiga la capacidad de control nulo local de un sistema de Burgers viscoso, que es una ecuación diferencial parcial (EDP) que gobierna la dinámica de los fluidos y comparte similitudes con el sistema de Navier-Stokes. Los investigadores, Hoai-Minh Nguyen y Minh-Nguyen Tran, buscan demostrar que el sistema no puede ser controlado localmente a cero en un tiempo finito, lo que significa que es imposible controlar el sistema a un estado de cero en un tiempo finito utilizando controles internos que dependen solo del tiempo. El sistema de Burgers considerado en este estudio se define en un intervalo limitado con condiciones de borde Dirichlet cero. Los autores establecen que este sistema no es controlable localmente a cero en un tiempo corto, lo que fue demostrado previamente por Marbach [25]. Sin embargo, en este artículo, Nguyen y Tran extienden este resultado a un tiempo finito, probando que el sistema sigue siendo incontrolable dentro de un tiempo finito. La metodología empleada en la prueba se inspira en trabajos sobre la controlabilidad del sistema de Korteweg-de Vries (KdV) y difiere del enfoque de Marbach. Los autores utilizan el método de expansión en series de potencias, que implica representar el control y la solución como una serie infinita de términos. Se centran en el comportamiento del sistema linealizado alrededor de la solución cero y muestran que no es controlable a cero para ciertas longitudes críticas. La clave de la prueba es demostrar que si el soporte de la función de control u1 está contenido dentro del intervalo [0, T] y la solución y1 alcanza cero en el tiempo T, entonces existe un constante positivo CT tal que la integral del cuadrado de la solución y2 en el tiempo T es mayor o igual a un umbral determinado, independientemente de la función de control u1. Esta desigualdad implica que el sistema no puede ser controlado a cero en un tiempo finito. Para establecer esta desigualdad, los autores realizan un análisis detallado de la transformada de Fourier de la solución y la función multiplicadora Φk. Muestran que para ciertas longitudes críticas, la función multiplicadora Φk presenta un signo negativo, lo que lleva a la desigualdad deseada. La prueba también requiere varias nuevas estimaciones para las soluciones de la ecuación de calor, que se establecen utilizando el descomponimiento espectral y el teorema de Fubini. Estas estimaciones ayudan a completar el análisis y probar el resultado principal del artículo. En resumen, este artículo contribuye al entendimiento de las propiedades de controlabilidad del sistema de Burgers al demostrar que no es controlable localmente a cero en un tiempo finito. Los autores utilizan una combinación de técnicas analíticas e inspiración del sistema KdV para probar este resultado, proporcionando insigths valiosos sobre el control de EDP no lineales.