Resumen - Pistas positivas en los grupos de difeomorfismos de manifolds con una distribución de contacto

Pistas positivas en los grupos de difeomorfismos de manifolds con una distribución de contacto

2025-07-09 20:56:55

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Este documento investiga el concepto de positividad en el contexto de los grupos de difeomorfismos de manificados con una distribución de contacto. El autor, Jakob Hedicke, explora cómo la noción de positividad puede aplicarse a las trayectorias de difeomorfismos que son transversales positivos a la distribución de contacto. El documento comienza presentando los conceptos básicos de manifolds de contacto y difeomorfismos. Luego define el concepto de positividad para las trayectorias de difeomorfismos y muestra que esta noción no es invariante bajo conjugación. Hedicke demuestra que todos los grupos de difeomorfismos no son ordenables, lo que significa que la relación inducida por la positividad es trivial para los difeomorfismos con soporte compacto y existen bucles positivos de difeomorfismos de tamaño C∞-pequeño. Los principales resultados del documento incluyen: 1. Un teorema que establece que para la estructura de contacto estándar en R2n+1, cualquier dos difeomorfismos están conectados por una trayectoria positiva. Este resultado se generaliza a los difeomorfismos con soporte compacto en una gran clase de manifolds de contacto. 2. Un teorema que muestra que es posible extender una trayectoria dada de contactomorfismos positiva fuera de un subconjunto compacto a una trayectoria positiva en todas partes de difeomorfismos con los mismos puntos de partida y de llegada. 3. Un teorema que demuestra que cualquier trayectoria de difeomorfismos con soporte compacto es homotópica en Diffc(M) con puntos de partida fijos a una trayectoria de trayectoria nula de soporte compacto. Si M es cerrado, cualquier trayectoria de difeomorfismos es homotópica con puntos de partida fijos a una trayectoria positiva. Además, existen bucles positivos y nulos de tamaño C∞-pequeño en Diff0(M). 4. Un teorema que establece que para un manifold de contacto cerrado, existe una homotopía de bucles H : S1 × [0, 1] → Diff0(M) tal que H(t, 1) = id para todos t ∈ S1 y t 7→ H(t, s) es un bucle positivo para todos s ∈ [0, 1). El documento también explora aplicaciones de estos resultados al estudio de los Legendrians en el espacio de fase termodinámico. En particular, responde a una pregunta planteada por Entov, Polterovich y Ryzhik sobre Legendrians en el contexto de los procesos termodinámicos. En resumen, este documento proporciona una investigación exhaustiva del concepto de positividad en los grupos de difeomorfismos de manifolds con una distribución de contacto. Los resultados presentados tienen implicaciones para diversas áreas de matemáticas, incluyendo la topología de contacto, la geometría simétrica y la termodinámica.