Resumen - Biquandles Virtuales y Nudos Virtuales

Biquandles Virtuales y Nudos Virtuales

2025-07-10 10:31:10

{"Neslihan Gügümcü","Hamdi Kayaslan"}

{math.AT,"57M27, 57M25"}

Este artículo de Neslihan Gülgümcü y Hamdi Kayaslan introduce invariantes de virtual knotoids basados en biquandles y biquandle virtual brackets. La teoría de nudo virtual, como fue introducida por L.H. Kauffman, estudia nudos y enlaces en superficies engrosadas hasta homeomorfismos de superficies engrosadas más estabilización/desestabilización de mango. Los knotoids son curvas abiertas inmersas en superficies con dos puntos extremos y son generalizaciones de nudos clásicos. La teoría de knotoids fue introducida por V. Turaev y ha sido extensamente estudiada. El artículo primero revisa los fundamentos de las teorías de nudo y knotoid virtual, incluyendo la definición de un diagrama de knotoid, un knotoid y un diagrama de nudo virtual. Luego introduce los biquandles, que son estructuras algebraicas con dos operaciones binarias que satisfacen tres axiomas motivados por los movimientos de Reidemeister de enlaces clásicos. Los brackets de biquandle definidos sobre un anillo conmutativo y unital fueron introducidos por S. Nelson para nudos y enlaces X-colorados en analogía con el bracket de Kauffman. El artículo luego utiliza los brackets de biquandle virtual para mejorar el invariante de conteo de biquandle y la matriz de conteo de biquandle para los virtual knotoids. Introduce nuevos invariantes de los virtual knotoids como una mejora de los invariantes basados en la coloración de biquandle. El artículo proporciona ejemplos que demuestran las capacidades de clasificación de estos invariantes utilizando la tabla de nudos virtuales de Bartholomew. El artículo también introduce el concepto de brackets de biquandle virtual para los virtual knotoids. Un bracket de biquandle virtual se define como un conjunto de mapas y dos elementos que satisfacen ciertas ecuaciones. El artículo define el invariante de bracket virtual X de un diagrama de nudo virtual X-colorado como la suma sobre los estados del diagrama, donde cada estado se obtiene al suavizar cruces de todas las formas posibles. El artículo también define el polinomio de bracket virtual de biquandle y la matriz de bracket virtual de biquandle para los virtual knotoids. El artículo muestra que la matriz de bracket virtual de biquandle es una mejora adecuada de la matriz de conteo de biquandle y el invariante de conteo de biquandle para los virtual knotoids. El artículo proporciona ejemplos que demuestran la fuerza de estos invariantes en distinguir virtual knotoids. El artículo concluye discutiendo la computabilidad y la fuerza de los brackets de biquandle virtual como invariantes para los virtual knotoids. Nota que la computabilidad y la fuerza de este invariante pueden ajustarse mediante la elección de un biquandle X, un anillo de base R y una matriz de coeficientes. El artículo también observa que es una tarea difícil determinar los mapas de coeficientes que satisfacen los axiomas dados de un bracket de biquandle virtual, pero proporciona algunas restricciones para hacer esta tarea soportable.