Este documento investiga la distancia Gromov-Hausdorff entre pares métricos cromáticos y la estabilidad del grupo de seis diagramas de persistencia. Los pares métricos cromáticos consisten en un espacio métrico y una función de coloración que parte de un subconjunto de este en varios colores. El grupo de seis es una colección de seis diagramas de persistencia que resumen información homológica sobre cómo interactúan los subconjuntos coloreados.
Los autores introducen una generalización adecuada de la distancia Gromov-Hausdorff para comparar pares métricos cromáticos. Mostran algunas propiedades básicas y validan esta definición al obtener la estabilidad del grupo de seis con respecto a esa distancia. También discuten su restricción a pares métricos y su papel en la estabilidad de los diagramas de persistencia de Cech.
Puntos clave:
* **Pares métricos cromáticos**: Un espacio métrico y una función de coloración que parte de un subconjunto de este en varios colores.
* **Grupo de seis**: Una colección de seis diagramas de persistencia que resumen información homológica sobre cómo interactúan los subconjuntos coloreados.
* **Distancia Gromov-Hausdorff**: Una noción de disimilaridad introducida por Gromov para estudiar la convergencia de estructuras métricas.
* **Estabilidad**: La propiedad de que si dos conjuntos de datos son similares, sus invariantes asociados también deben ser similares.
Los autores demuestran que el grupo de seis es estable con respecto a la distancia Gromov-Hausdorff entre pares métricos cromáticos. Este resultado es significativo porque permite la comparación de conjuntos de datos con diferentes coloraciones y diferentes espacios métricos subyacentes.
El documento también discute los siguientes temas:
* **Mapas acotados por C**: Mapeos entre pares métricos cromáticos que satisfacen ciertas restricciones sobre los colores de los puntos.
* **Topologías de Alexandrov**: Un tipo de topología en un conjunto de colores.
* **Distancia Gromov-Hausdorff acotada por C**: Una generalización de la distancia Gromov-Hausdorff para pares métricos cromáticos.
* **Homología de persistencia**: Una herramienta para estudiar la topología de los conjuntos de datos.
Los autores concluyen discutiendo las implicaciones de sus resultados para el estudio de los conjuntos de puntos cromáticos y la homología de persistencia.