Resumen - Observables de árboles de ramificación aleatoria en entorno aleatorio

Observables de árboles de ramificación aleatoria en entorno aleatorio

2025-07-10 12:30:44

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Esta tesis de Luca Makowiec explora un sistema desordenado nuevo llamado árboles espaciados aleatorios en entorno aleatorio (RSTRE, por sus siglas en inglés) a través de diversas familias de grafos con diferentes distribuciones de desorden. La investigación se centra en varios observables como funciones de la fuerza del desorden (temperatura inversa) β ≥ 0 y compara sus valores con los casos extremos β = 0 y β →∞, que corresponden al árbol espaciado uniforme (UST) y el árbol espaciado mínimo (MST), respectivamente. Aspectos clave de la investigación incluyen: - Introducción a la información de antecedentes relevante sobre árboles espaciados uniformes, caminatas aleatorias y redes eléctricas. - Existencia de una medida RSTRE limitante en la cuadrícula euclidiana Zd considerando RSTRE en grafos finitos en una exhaustión de Zd. - Análisis del número de componentes conectados y la densidad de superposición de dos árboles extraídos bajo el mismo entorno. - Enfoque en observables locales del RSTRE en el grafo completo sobre n vértices con variables de desorden distribuidas uniformemente en [0, 1]. La investigación muestra: - Cuando β = o(n/ log n), la longitud (Hamiltoniano) es (1 + o(1))β/n y la superposición de aristas es (1 + o(1))β. - Para β mucho mayor que n log2 n, la superposición de aristas es (1 - o(1))n y la longitud es aproximadamente la del MST. - Hay una transición aguda del límite local cuando β = nγ y γ cruza el umbral crítico γc = 1. Para γ < γc, el RSTRE localmente converge al mismo límite que el UST. Para γ > γc, el límite local es el mismo que el MST. - Consideración del observable global del diámetro. Para expandores de grado limitado o cajas en Zd (d ≥ 5) sobre n vértices, el diámetro del RSTRE es de orden √n (hasta términos logarítmicos), lo mismo que el diámetro del UST. Para el grafo completo con variables de desorden distribuidas uniformemente en [0, 1], el diámetro del RSTRE es de orden √n para β = O(n/ log n) y n1/3 para β ≥ n4/3 log n, lo mismo que el diámetro del MST. La investigación proporciona nuevas perspectivas sobre el comportamiento de los RSTRE en diversas familias de grafos y regimes de desorden, ofreciendo un puente entre el UST y el MST.