Resumen - Descomposición en el dominio del tiempo basada en la disipatividad para el control óptimo de EDP hiperbólicas

Descomposición en el dominio del tiempo basada en la disipatividad para el control óptimo de EDP hiperbólicas

2025-07-10 14:43:28

{"Bálint Farkas","Birgit Jacob","Manuel Schaller","Merlin Schmitz"}

{math.OC,math.FA,"46N10, 49M27, 49N10, 65M55, 65Y05"}

Este documento de investigación presenta un nuevo enfoque de descomposición en dominio del tiempo para el control óptimo de ecuaciones parciales hiperbólicas (PDEs), específicamente centrado en ecuaciones como las de la viguería o las ecuaciones de ondas. El método, basado en métodos teóricos de semigrupos, aborda el desafío de la alta dimensionalidad que a menudo se encuentra en PDEs dependientes del tiempo. Los autores proponen un método de descomposición en dominio del tiempo tipo Peaceman-Rachford, que implica dividir el sistema de optimidad en subproblemas. Este sistema consta de dos PDEs acopladas de avanzada-retroceso, que representan las ecuaciones de estado y adjuntas. La idea clave es expresar este sistema como una suma de operadores disipativos, lo que permite un esquema de iteración de punto fijo. Los pasos de iteración pueden considerarse como soluciones de muchos problemas de control óptimo distribuidos en el tiempo y descentralizados, y por lo tanto, altamente paralelizables. El documento prueba la convergencia del estado, el control y el estado adjunto correspondiente en el espacio de funciones. Los resultados son particularmente aplicables a las ecuaciones hiperbólicas debido al marco general de los semigrupos C0-(semi)grupos. El método propuesto se ilustra utilizando dos ejemplos numéricos, una ecuación de onda 2D y una ecuación de calor 3D, demostrando su eficiencia y convergencia. Los aspectos clave del método incluyen: 1. **Descomposición en Dominio del Tiempo**: El horizonte de tiempo se divide en subintervalos no superpuestos, permitiendo la paralelización de los subproblemas resultantes. 2. **Operadores Disipativos**: El sistema de optimidad se expresa como una suma de operadores disipativos, lo que permite el análisis de convergencia en un marco funcional analítico general. 3. **Iteración Peaceman-Rachford**: Se utiliza el esquema de iteración de punto fijo para resolver los subproblemas, asegurando la convergencia del estado, el control y el estado adjunto. 4. **Ejemplos Numéricos**: El método se demuestra utilizando PDEs 2D y 3D, mostrando su eficiencia y aplicabilidad a varios problemas. En resumen, este documento presenta un método nuevo y eficiente para el control óptimo de PDEs hiperbólicas, basado en la descomposición en dominio del tiempo y operadores disipativos. El método propuesto es adecuado para la paralelización y ofrece un enfoque prometedor para resolver problemas de control óptimo complejos que involucran PDEs de alta dimensionalidad.