Este documento propone un análogo discreto del teorema de inmersión barycentrica de Tutte para superficies de curvatura no positiva. El teorema establece que cada dibujo homotópico a una inmersión y con cada vértice en posición convexa (análogo discreto de estar en posición convexa) es una inmersión débil (cercana a cualquier inmersión).
Los autores introducen un modelo combinatorial para superficies no positively curvas llamado "triangulaciones de reducción". Este modelo permite una representación discreta de superficies con curvatura no positiva y captura muchas de las propiedades de las superficies suaves.
Las contribuciones principales del documento son:
1. **Teorema Discreto de Tutte**: Los autores prueban un análogo discreto del teorema de Tutte para superficies de curvatura no positiva, basado en la noción de triangulaciones de reducción. Este teorema proporciona una condición necesaria y suficiente para que un dibujo sea homotópico a una inmersión.
2. **Algoritmo para Hacer Dibujos Armónicos**: Los autores proporcionan un algoritmo de tiempo polinomial para hacer armónico un dibujo de entrada sin aumentar la longitud de cualquier arco. Este algoritmo permite la construcción de muchos dibujos armónicos, que son un análogo discreto natural de dibujos con vértices en posición convexa.
3. **Extensiones a Superficies con Bordo**: Los autores extienden sus resultados a superficies con borde llenando los componentes de borde con superficies (de género), extendiendo así las triangulaciones de reducción.
Las contribuciones del documento tienen varias implicaciones:
- **Modelos Discretos para Superficies**: El modelo discreto propuesto para superficies de curvatura no positiva puede utilizarse para desarrollar algoritmos para varios problemas topológicos en superficies.
- **Algoritmos de Dibujo de Gráficos**: Los algoritmos para hacer dibujos armónicos pueden utilizarse para mejorar los algoritmos de dibujo de gráficos, particularmente para superficies con curvatura no positiva.
- **Algoritmos de Morfismo**: Los resultados pueden utilizarse para desarrollar algoritmos de morfismo entre dos inmersiones del mismo grafo en una superficie de curvatura no positiva.
En resumen, el documento proporciona una contribución significativa al campo del dibujo de gráficos y la geometría discreta al introducir un nuevo modelo discreto para superficies y probar un análogo discreto del teorema de Tutte.