Resumen - Sobre la falta de colimitas en diversas categorías de BAOs y álgebras Heyting

Sobre la falta de colimitas en diversas categorías de BAOs y álgebras Heyting

2025-07-10 07:21:59

{"Marco Abbadini","Guram Bezhanishvili","Luca Carai"}

{math.LO,math.CT,"18C05, 08C05, 18F70, 06E25, 06D20, 06D22, 18F60"}

El artículo de Marco Abbadini, Guram Bezhanishvili y Luca Carai investiga la falta de colimites en diversas categorías de Álgebras Boleanas con Operadores (BAOs) y Álgebras Heyting. El estudio se centra en las categorías de BAOs completos con morphismos estables, álgebras Heyting con morphismos de lattice acotado, marcos y álgebras McKinsey-Tarski. Los autores comienzan discutiendo el hecho bien conocido de que tanto las álgebras boleanas como las álgebras Heyting forman una variedad, lo que permite el uso de herramientas poderosas de la álgebra universal en su estudio. Sin embargo, al restringir la atención a las categorías de álgebras boleanas y Heyting completas, se muestra que estas categorías no son variedades debido a la no existencia de álgebras boleanas y Heyting completas libres. Los autores luego generalizan este resultado a diversas categorías de BAOs y álgebras Heyting, mostrando que ninguna de estas categorías es equivalente a una prevariedad, ni siquiera a una variedad. Específicamente, demuestran que la categoría de álgebras McKinsey-Tarski no es equivalente a una variedad, respondiendo a una pregunta de Peter Jipsen en sentido negativo. La herramienta principal utilizada en la prueba es la teoría de la dualidad, que incluye la dualidad de Stone para álgebras boleanas, la dualidad de Jośnsson-Tarski para BAOs y las dualidades de Esakia y Priestley para álgebras Heyting y lattices distributivos acotados. Al dualizar el hecho de que las prevariedades son cocompletas, los autores muestran que las categorías duales bajo cuestión no son completas. En particular, se obtienen los siguientes resultados: 1. Diversas categorías de BAOs completos con morphismos estables completos carecen de algunas copotencias countables. 2. La categoría de álgebras Heyting con morphismos de lattice acotado carece de algunas coequisitorias. 3. La categoría de marcos con morphismos Heyting carece de algunas copotencias binarias. 4. La categoría de marcos con morphismos de lattice acotado carece de algunas copotencias binarias. Estos resultados contribuyen a una mejor comprensión de la estructura y propiedades de los BAOs y las álgebras Heyting, así como a sus aplicaciones en lógica modal y topología.