Resumen - $k$-PCA para Distancias Euclidianas (No Cuadradas): Aproximación en Tiempo Polinomial

$k$-PCA para Distancias Euclidianas (No Cuadradas): Aproximación en Tiempo Polinomial

2025-07-19 14:00:50

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{cs.LG,cs.CG,cs.DS}

Este documento presenta un algoritmo novedoso para calcular el mediano del k-subespacio (kSM), que tiene como objetivo minimizar la suma de las distancias euclidianas no cuadradas entre los puntos y sus subespacios k-dimensionales correspondientes. El algoritmo, denominado kSM-Approx, ofrece una solución determinística en tiempo polinomial con un factor de aproximación multiplicativo de d, donde d es la dimensionalidad del espacio de entrada. El problema del kSM es desafiante debido a su naturaleza no convexa y la falta de algoritmos eficientes. Los métodos existentes a menudo dependen de enfoques aleatorios o tienen complejidad exponencial en el tiempo. El algoritmo propuesto aborda estos desafíos utilizando una técnica de relajación convexa y un método de camino central para resolver el problema de optimización resultante. Aquí hay un desglose de las contribuciones y hallazgos clave: **Resumen del Algoritmo**: 1. **Relajación**: El problema del kSM se relaja a un problema de programación semidefinida mixta (SDP)-programación de conjuntos de cónicas de segundo orden (SOCP), que es una relajación convexa del problema original. 2. **Optimización**: El problema relajado se resuelve utilizando un método de camino central, que garantiza una aproximación aditiva ε al solución óptima. 3. **Proyección**: La solución óptima del problema relajado se proyecta sobre el conjunto factible del problema del kSM original para obtener una aproximación d del kSM. **Demostración de la Corrección**: La corrección del algoritmo se establece demostrando que la solución proyectada minimiza la suma de las distancias euclidianas no cuadradas a los puntos de entrada y está dentro de un factor de d de la solución óptima del kSM. **Tiempo de Ejecución**: El tiempo de ejecución del algoritmo se analiza utilizando el método de camino central y muestra que es polinomial en el tamaño de la entrada y la dimensionalidad del espacio de entrada. **Resultados Experimentales**: El algoritmo se compara con métodos existentes en conjuntos de datos del mundo real y demuestra un rendimiento superior en términos de precisión y eficiencia computacional. **Novedad**: El algoritmo propuesto es novedoso en varios aspectos: * **Determinístico**: Proporciona una solución determinística con un factor de aproximación garantizado, a diferencia de los métodos existentes aleatorios. * **Tiempo Polinomial**: Tiene un tiempo de ejecución polinomial, lo que lo hace adecuado para grandes conjuntos de datos. * **Relajación Convexa**: Utiliza una técnica de relajación convexa para manejar la no convexidad del problema del kSM. **Conclusión**: El algoritmo kSM-Approx ofrece una mejora significativa sobre los métodos existentes para calcular el mediano del k-subespacio. Proporciona una solución determinística en tiempo polinomial con un factor de aproximación garantizado, convirtiéndose en una herramienta valiosa para diversas aplicaciones en análisis de datos y aprendizaje automático.