Resumen - Reducción Tukey generalizada entre conjuntos directos $\sigma$-dirigidos

Reducción Tukey generalizada entre conjuntos directos $\sigma$-dirigidos

2025-07-09 22:13:59

{"Hiroshi Sakai","Toshimasa Tanno"}

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El artículo de Hiroshi Sakai y Toshimasa Tanno introduce el concepto de reducibilidad pre-Tukey, que es una generalización de la reducibilidad Tukey entre conjuntos dirigidos y funciona bien en la teoría de conjuntos Zermelo-Fraenkel sin el Axioma de Elección (ZF). Los autores exploran la reducibilidad pre-Tukey entre varios conjuntos dirigidos σ bajo ciertas suposiciones sobre conjuntos de reales que se cumplen en el modelo de Solovay y en el modelo interno L(R) que satisface el Axioma de Determinabilidad (AD). En la introducción, los autores subrayan la importancia de los conjuntos dirigidos en la teoría de conjuntos y el papel de la reducibilidad Tukey en compararlos. Notan que la reducibilidad Tukey depende fuertemente del Axioma de Elección (AC) y introducen la reducibilidad pre-Tukey para abordar este problema. La reducibilidad pre-Tukey permite la comparación de conjuntos dirigidos sin AC, ya que muestra que si dos conjuntos dirigidos son equivalentes bajo reducibilidad pre-Tukey, son similarmente cofinales, lo que significa que pueden ambas ser inmersas cofinalmente en un conjunto dirigido. El artículo luego presenta varias definiciones y conceptos clave. Introduce la notación para conjuntos ordenados, incluyendo pre-ordenamientos, posets, ordenamientos parciales, conjuntos dirigidos y embeddings. Los autores también discuten la notación para forzamientos, que se utilizan para construir modelos de teoría de conjuntos. El enfoque principal del artículo es la relación pre-Tukey. Los autores definen esta relación y proporcionan ejemplos para ilustrar sus propiedades. Prueban que la relación pre-Tukey se caracteriza por la existencia de mapas que generalizan los mapas Tukey y los mapas convergentes. También establecen una relación entre los mapas Tukey (convergentes) y los mapas pre-Tukey (pre-convergentes). El artículo luego investiga las relaciones pre-Tukey entre varios conjuntos dirigidos σ, incluyendo (ωω,≤∗), (M,⊆), (N ,⊆), (ω1,≤) y ([ωω]ω,⊆), bajo suposiciones sobre conjuntos de reales que se cumplen en el modelo de Solovay y en L(R) que satisface AD. Los autores prueban que (ωω,≤∗) ⪯pT (M,⊆) ⪯pT (N ,⊆) puede probarse en ZF + DC, y proporcionan una prueba de las relaciones pre-Tukey entre estos cinco conjuntos dirigidos σ en modelos de ZF+DC+(⋆), que se ilustran en la Figura 1. El artículo concluye con varias preguntas para investigación futura. Una pregunta pregunta si la coincidencia de la relación Tukey y la relación pre-Tukey implica el Axioma de Elección. Otra pregunta investiga la generalización de la conexión Galois-Tukey a ZF y su comportamiento en modelos de ZF+DC+(⋆). En resumen, el artículo introduce la reducibilidad pre-Tukey y explora sus propiedades y aplicaciones. Proporciona un marco para comparar conjuntos dirigidos sin depender del Axioma de Elección e investiga las relaciones pre-Tukey entre varios conjuntos dirigidos σ bajo suposiciones específicas. El artículo también plantea varias preguntas para investigación futura en este campo.