Resumen - Aplanamiento $L^2$ de Medidas Auto-similares en Curvas No-degeneradas

Aplanamiento $L^2$ de Medidas Auto-similares en Curvas No-degeneradas

2025-07-09 22:45:19

{"Amir Algom","Osama Khalil"}

{math.CA,math.DS}

Este artículo de Amir Algom y Osama Khalil explora las propiedades de medidas auto-similares en curvas no degeneradas en Rd, donde d ≥ 1. Una medida auto-similar es una medida de probabilidad Borel en la línea real R que satisface la condición de estacionariedad, lo que significa que puede descomponerse en una suma de copias escaladas y traducidas de sí misma. El enfoque se centra en la norma Lp del transformada de Fourier de estas medidas cuando son llevadas adelante por una curva no degenerada o no atrapada. El resultado principal, el Teorema 1.1, establece que para cualquier medida auto-similar no atómica µ en R y cualquier curva no atrapada o no degenerada Q: U → Rd, existe un constante p > 1 tal que la norma Lp de la medida llevada adelante ν = Qµ está acotada por Oε(R^ε) para todos R > 1, donde B(R) es la esfera R alrededor del origen en Rd. Esto implica que la convolución con ν mejora la dimensión L2 cuantitativamente. El artículo también presenta un corolario, que muestra que para cualquier medida ν satisfaciendo las condiciones del Teorema 1.1, el límite de la dimensión Lq cuando n se acerca a infinito es igual a la dimensión ambiental d para todos q ∈ [2, ∞]. Además, existe una constante η > 0 tal que para cualquier medida de probabilidad Borel θ, si la suma de momentos de θ es mayor que un cierto umbral, entonces la suma de momentos de θ convolviéndose con ν está acotada por un poder de la suma de momentos de θ. La prueba del Teorema 1.1 implica dos pasos principales. El primer paso, la Proposición 1.5, establece una decadencia uniforme punto a punto de la transformada de Fourier de la medida llevada adelante ν lejos del primer coordenada. El segundo paso, la Proposición 1.4, maneja la región cercana al primer coordenada. La prueba se basa en el exponente de Frostman de las proyecciones de la medida auto-similar y la estimación de grandes desviaciones para la transformada de Fourier. El artículo compara los resultados con trabajos anteriores en análisis armónico, geometría fractal y sistemas dinámicos. Resalta las propiedades únicas de las medidas auto-similares que permiten estas mejoras sobre los resultados anteriores. Los autores también discuten posibles generalizaciones y preguntas abiertas relacionadas con el problema.