Resumen - Invariantes de álgebras de corrientes torcidas y subálgebras Poisson-comutativas relacionadas

Invariantes de álgebras de corrientes torcidas y subálgebras Poisson-comutativas relacionadas

2025-07-10 17:41:26

{"Dmitri Panyushev","Oksana Yakimova"}

{math.RT,math-ph,math.MP}

Este trabajo de investigación de D. I. Panyushev y O. S. Yakimova explora las propiedades de álgebras de corrientes torcidas y sus subálgebras Poisson-comutativas asociadas. El enfoque principal es extender automorfismos de un álgebra de Lie de dimensión finita q al álgebra de bucles q̂ = q[t, t−1], y estudiar el subálgebra de puntos fijos q̂ϑ. Los autores comienzan considerando un automorfismo ϑ de orden m de q y extendiéndolo a un automorfismo de q̂. Luego definen el subálgebra de puntos fijos q̂ϑ y analizan su estructura utilizando la descomposición q̂ϑ = q[t]ϑ ⊕ (t−1q[t−1])ϑ. Construyen subálgebras Z1 ⊂ S(q[t]ϑ) y Z2 ⊂ S((t−1q[t−1])ϑ) y demuestran que si q es reductivo, tanto Z1 como Z2 son Poisson-comutativas. También muestran que Z1 es siempre un anillo polinomial con infinitos generadores, descrito explícitamente. Se demuestra que los álgebras Z1 y Z2 son versiones Poisson-torcidas del subálgebra universal de Gaudin y el centro Feigin-Frenkel, respectivamente. Se considera un homomorfismo de álgebra de Lie natural ψ : q̂ϑ → q[t, t−1]ϑ/(tm − 1) ∼= q, y se muestra que ψ(Z1) y ψ(Z2) están estrechamente relacionados con los subálgebras Poisson-comutativas de S(q) construidos por Panyushev-Yakimova en 2021. Los autores proporcionan una descripción explícita de ψ(Z2) bajo ciertas suposiciones sobre ϑ, mientras que ψ(Z1) se describe para todos los ϑ y todos los q reductivos. La introducción establece el escenario describiendo el campo base, los álgebras de Lie y las variedades Poisson. Los autores luego introducen el álgebra de bucles q̂ y su descomposición en q[t−1] y tq[t], identificando tq[t] con el espacio de cociente q[t, t−1]/q[t−1]. Definen el subálgebra Z(q̂) de invariantes de q̂ y estudian sus propiedades. Los autores también discuten la álgebra afina Kac-Moody (sin torcer) ĝKM asociada con un álgebra de Lie reductivo g y sus subálgebras. Estudian los invariantes de estas subálgebras y muestran que Z(ĝ) es isomorfo al centro Feigin-Frenkel y Z(ĝ, t−1) es isomorfo al subálgebra universal de Gaudin. El trabajo también aborda un problema abierto relacionado con la existencia de subálgebras conmutativas en U(q[t]) y U(g[t]) que cuantifican Z(q̂), Z(q̂, [0]), Z(ĝϑ, t) y Z(ĝϑ, [0]) con ϑ no trivial. En resumen, el trabajo proporciona un estudio exhaustivo de las álgebras de corrientes torcidas y sus subálgebras Poisson-comutativas asociadas, con un enfoque en el caso reductivo. Los resultados obtenidos tienen implicaciones para la teoría de representaciones y la geometría de los álgebras de Lie.