Resumen - Inscripciones en geometrías no euclidianas

Inscripciones en geometrías no euclidianas

2025-07-10 17:30:28

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Este artículo explora el concepto de problemas de inscripción en geometrías no euclídeas, especialmente enfocándose en superficies riemannianas de curvatura constante. El autor, Ali Naseri Sadr, comienza generalizando el problema de inscribir cuadriláteros cíclicos en el plano a superficies riemannianas. Introduce el concepto de cuadriláteros cíclicos y sus tipos de similitud en estas superficies utilizando ideas de geometría simplectica y riemanniana. El artículo está estructurado de la siguiente manera: - La sección 1 introduce el problema y proporciona las definiciones y teoremas necesarios. - La sección 2 demuestra la existencia de cuadriláteros cíclicos inscritos en curvas Jordanianas suaves en el plano hiperbólico. - La sección 3 demuestra la existencia de rectángulos inscritos en curvas Jordanianas suaves en la esfera que no intersectan sus puntos antipodales. Los resultados clave son los siguientes: 1. **Teorema 1.4**: Una curva cerrada y浸入ida suave en el plano hiperbólico inscribe un cuadrilátero cíclico de tipo (θ, φ1, φ2) para cualquier tres ángulos que satisfagan las condiciones dadas. 2. **Teorema 1.5**: Una curva Jordaniana en la esfera que no intersecta sus puntos antipodales inscribe un rectángulo de tipo θ para cada θ en el intervalo (0, π). La demostración del Teorema 1.4 implica construir un toro lagrangiano en el plano hiperbólico y utilizar el número de Maslov para mostrar que tiene intersecciones propias, que corresponden a los cuadriláteros cíclicos inscritos. La demostración del Teorema 1.5 se basa en la existencia de un flujo hamiltoniano en la esfera que genera rectángulos y utiliza el cociente simplectico para mostrar que el toro lagrangiano resultante tiene intersecciones propias no vacías. El artículo concluye con algunas preguntas y conjeturas para futuras investigaciones, incluyendo la posibilidad de probar resultados similares para otras superficies riemannianas y la existencia de inscripciones periódicas en el plano hiperbólico.