Resumen - Geodesias Morse Sublineales y Percolación de Primer Paseo

Geodesias Morse Sublineales y Percolación de Primer Paseo

2025-07-10 15:40:00

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Este documento de Sagnik Jana y Yulan Qing investiga la existencia de líneas geodésicas bi-infinitas en grafos conectados infinitos con grado limitado, bajo condiciones específicas sobre la distribución de longitudes de aristas y la presencia de una línea geodésica bi-infinita Morse sublineal. La investigación se basa en trabajos anteriores en percolación de paso primero (FPP) y geodesicas Morse, y generaliza un resultado de [BT17]. El documento define FPP como un modelo donde longitudes aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.), se asignan a las aristas de un grafo. Luego, examina la existencia de líneas geodésicas infinitas en tales grafos, centrándose en el modelo más simple donde los pesos de las aristas se asignan aleatoriamente. La contribución clave del documento es probar el siguiente teorema: Teorema A: Sea X un grafo conectado infinito con grado limitado. Supongamos que Eωe < ∞ y ν(0) = 0. Si X contiene una línea cuasi-geodésica bi-infinita Morse sublineal, entonces para casi todos los ω, hay un rayo geodésico bi-infinito en Xω. La prueba se basa en el concepto de recurrencia media, una propiedad de las geodesicas Morse que fue introducida por primera vez por Drutu-Mozes-Sapir en [DMS09]. Los autores generalizan esta propiedad a rayos cuasi-geodésicos Morse sublineales y la utilizan para derivar una propiedad de divergencia superlineal punteada. Esta propiedad se utiliza luego en la prueba principal del Teorema A. El documento también discute la historia de FPP y geodesicas Morse, incluyendo el trabajo de Hammersley y Welsh, Benjamini, Tessera, y Zeitouni, y Basu-Mj. También menciona el desarrollo reciente de límites Morse sublineales y sus aplicaciones en FPP. Los autores plantean varias preguntas abiertas, incluyendo si se puede detectar la propiedad Morse sublineal en la línea geodésica bi-infinita expuesta en el documento y si FPP preserva la propiedad Morse de la línea geodésica bi-infinita. En resumen, este documento proporciona una contribución significativa al estudio de FPP y geodesicas Morse, generalizando un resultado anterior y proporcionando nuevas perspectivas sobre la existencia de líneas geodésicas bi-infinitas en grafos conectados infinitos.