Resumen - Conjuntos regulares en grafos de suma de Cayley sobre grupos generalizados dicíclicos

Conjuntos regulares en grafos de suma de Cayley sobre grupos generalizados dicíclicos

2025-07-10 13:15:29

{"Meiqi Peng","Yuefeng Yang","Wenying Zhu"}

{math.CO}

Este documento se centra en el estudio de los conjuntos regulares en los gráficos de suma de Cayley sobre grupos dicyclícos generalizados. Los autores, Meiqi Peng, Yuefeng Yang y Wenying Zhu, definen un subconjunto C de un grafo Γ = (V(Γ), E(Γ)) como un conjunto (α, β)-regular si cada vértice de C está conectado exactamente con α vértices de C, y cada vértice de V(Γ) \ C está conectado exactamente con β vértices de C. Luego exploran este concepto en el contexto de los gráficos de suma de Cayley sobre grupos dicyclícos generalizados, donde el grafo se define con el conjunto de vértices G y dos vértices x y están conectados siempre y cuando xy ∈ S, donde S es un subconjunto normal y sin cuadrados de G. El documento se organiza en varias secciones: 1. **Introducción**: Esta sección define los términos y notaciones necesarios, como gráficos de Cayley, gráficos de suma de Cayley y conjuntos regulares. También presenta los objetivos principales del documento, que es determinar las posibilidades para (α, β) tal que un subgrupo H de un grupo dicyclíco generalizado G es un conjunto (α, β)-regular de G. 2. **Primeros pasos**: Esta sección proporciona algunos resultados y lemas básicos que se utilizarán en las secciones posteriores. Incluye información sobre subgrupos de grupos dicyclícos generalizados, las propiedades de elementos cuadrados y no cuadrados, y la clasificación de clases conjugadas en G. 3. **Conjunto (0, β)-regular**: Esta sección se centra en determinar las posibilidades para β tal que H o ⟨H, zb⟩ es un conjunto (0, β)-regular de G. Incluye varios lemas que establecen las condiciones necesarias para que un subgrupo sea un conjunto (0, β)-regular y proporciona un método para construir un conjunto de conexión apropiado S para lograr esto. 4. **Pruebas de los Teoremas 1.1 y 1.2**: Esta sección proporciona las pruebas de los resultados principales presentados en el documento. Utiliza los lemas y resultados de las secciones anteriores para demostrar que un subgrupo H de un grupo dicyclíco generalizado G es un conjunto (α, β)-regular de G si y solo si se cumplen ciertas condiciones. El documento contribuye al entendimiento de los conjuntos regulares en los gráficos de suma de Cayley sobre grupos dicyclícos generalizados proporcionando un análisis exhaustivo de las condiciones bajo las cuales un subgrupo puede ser un conjunto (α, β)-regular. Este trabajo podría tener implicaciones para diversas áreas de la matemática, incluyendo la teoría de grafos, la teoría de grupos y la teoría de códigos.