Este documento aborda el cálculo de las frecuencias de parches en realizaciones geométricas de sustituciones primitivas utilizando relaciones de renormalización exactas. El objetivo principal es proporcionar un método para calcular la frecuencia de parche exacta de cualquier parche dado y, por lo tanto, determinar su legalidad, en sistemas que surgen de sustituciones primitivas.
El documento primero revisa conceptos relevantes de dinámica simbólica y las formas de pasar de un entorno simbólico a uno geométrico. Luego utiliza un mosaico autosemelhante de una transversal del envoltorio geométrico para calcular la frecuencia relativa de cualquier parche dado. El documento deriva ecuaciones de renormalización exactas para las frecuencias de parche (Teorema 2) y muestra que poseen una solución única (Teorema 4).
El documento también ilustra cómo pasar del entorno geométrico al simbólico en el ejemplo de Fibonacci y proporciona una manera de derivar la frecuencia de parche para el entorno simbólico y para otras suspensiones bajo algunas condiciones leves sobre la función techo y la sustitución (Teoremas 10 y 12).
Las conclusiones clave del documento son:
1. Un método explícito para calcular las frecuencias de parche en realizaciones geométricas de sustituciones primitivas utilizando relaciones de renormalización exactas.
2. La existencia de una solución única a las ecuaciones de renormalización exactas para las frecuencias de parche.
3. Un método para pasar del entorno geométrico al simbólico y derivar la frecuencia de parche para el entorno simbólico y para otras suspensiones bajo algunas condiciones leves.
El documento demuestra la efectividad del método propuesto a través del ejemplo de Fibonacci y proporciona un marco para extender el enfoque a otros sistemas.
En resumen, el documento contribuye al entendimiento de las frecuencias de parche en realizaciones geométricas de sustituciones primitivas y proporciona una herramienta valiosa para estudiar la dinámica simbólica y el orden aperiódico.