Este documento proporciona una interpretación geométrica del algoritmo de multiplicación de matrices de Strassen de 2x2. Demuestra que el algoritmo de Strassen surge naturalmente de la expansión de una forma de volumen tridimensional en una suma antisimétrica de 6 tensores simples. Esta interpretación geométrica ofrece nuevas perspectivas sobre la estructura del algoritmo de Strassen y su relación con otros conceptos matemáticos.
El documento comienza introduciendo el concepto de forma de volumen en el espacio cuotiente de matrices 2x2 por los múltiplos de la matriz identidad. Esta forma de volumen es un objeto tridimensional que puede expandirse en una suma antisimétrica de 6 tensores simples. El documento luego muestra que el algoritmo de Strassen puede derivarse de esta expansión.
La idea clave es relacionar la forma de volumen con otra forma trilineal denominada h. La forma trilineal h puede expresarse como la composición de la forma de volumen g con un mapa lineal inducido por la permutación (321). Esto permite transportar ciertas descomposiciones de rango 6 de g a descomposiciones de rango 6 de h.
El documento luego utiliza el álgebra tensorial para demostrar que h puede expresarse como una suma antisimétrica de 7 tensores simples. Dualizando esta expresión se obtiene una descomposición de rango 7 de la multiplicación de matrices.
El documento concluye mostrando que el algoritmo original de Strassen se puede obtener aplicando los resultados anteriores al espacio vectorial bidimensional k^2.
Esta interpretación geométrica del algoritmo de Strassen tiene varias ventajas:
* Proporciona una comprensión más intuitiva de la estructura del algoritmo.
* Muestra que el algoritmo de Strassen está relacionado con otros conceptos matemáticos, como las formas de volumen y el álgebra tensorial.
* Puede llevar a nuevas perspectivas sobre el desarrollo de algoritmos de multiplicación de matrices más rápidos.
En resumen, este documento ofrece una interpretación geométrica novedosa del algoritmo de multiplicación de matrices de Strassen de 2x2. Demuestra que el algoritmo surge naturalmente de la expansión de una forma de volumen tridimensional y proporciona nuevas perspectivas sobre su estructura y su relación con otros conceptos matemáticos.