Zusammenfassung - Positive Pfade in Diffeomorphiegruppen von Mannigfaltigkeiten mit einer Kontaktverteilung

Positive Pfade in Diffeomorphiegruppen von Mannigfaltigkeiten mit einer Kontaktverteilung

2025-07-09 20:56:55

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Dieser Aufsatz untersucht das Konzept der Positivität im Kontext der Diffeomorphiegruppen von Mannigfaltigkeiten mit einer Berührungsdistribution. Der Autor Jakob Hedicke untersucht, wie das Konzept der Positivität auf Pfade von Diffeomorphismen angewendet werden kann, die positiv transversal zur Berührungsdistribution sind. Der Aufsatz beginnt mit der Einführung der grundlegenden Konzepte von Berührungsmannigfaltigkeiten und Diffeomorphismen. Anschließend definiert er das Konzept der Positivität für Pfade von Diffeomorphismen und zeigt, dass diese notion unter Konjugation nicht invariant ist. Hedicke demonstriert, dass alle Diffeomorphiegruppen nicht ordbar sind, was bedeutet, dass die durch Positivität erzeugte Relation für kompakt unterstützte Diffeomorphismen trivial ist und es existieren C∞-kleine positive Loops von Diffeomorphismen gibt. Die Hauptergebnisse des Aufsatzes sind: 1. Ein Theorem, das besagt, dass für die Standardberührungsdistribution auf R2n+1 jede zwei Diffeomorphismen durch einen positiven Pfad verbunden sind. Dieses Ergebnis kann auf kompakt unterstützte Diffeomorphismen auf einer großen Klasse von Berührungsmannigfaltigkeiten generalisiert werden. 2. Ein Theorem, das zeigt, dass es möglich ist, einen gegebenen Pfad von Kontaktomorphismen, der außen vor einem kompakten Teilbereich positiv ist, in einen überall positiven Pfad von Diffeomorphismen mit den gleichen Endpunkten zu erweitern. 3. Ein Theorem, das demonstriert, dass jeder Pfad von kompakt unterstützten Diffeomorphismen in Diffc(M) mit festen Endpunkten homotop zu einem kompakt unterstützten Nullpfad ist. Wenn M geschlossen ist, ist jeder Pfad von Diffeomorphismen mit festen Endpunkten homotop zu einem positiven Pfad. Außerdem existieren in Diff0(M) C∞-kleine positive und Null-Loops. 4. Ein Theorem, das besagt, dass für eine geschlossene Berührungsmannigfaltigkeit es eine Homotopie von Loops H : S1 × [0, 1] → Diff0(M) gibt, so dass H(t, 1) = id für alle t ∈ S1 und t 7→ H(t, s) ein positiver Loop für alle s ∈ [0, 1) ist. Der Aufsatz untersucht auch Anwendungen dieser Ergebnisse auf die Untersuchung von Legendriern im thermodynamischen Phasenraum. Insbesondere beantwortet er eine Frage von Entov, Polterovich und Ryzhik über Legendriern im Kontext thermodynamischer Prozesse. Insgesamt bietet dieser Aufsatz eine umfassende Untersuchung des Konzepts der Positivität in Diffeomorphiegruppen von Mannigfaltigkeiten mit einer Berührungsdistribution. Die präsentierten Ergebnisse haben Auswirkungen auf verschiedene Bereiche der Mathematik, einschließlich Berührungstopologie, symplektische Geometrie und Thermodynamik.